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limite de fonction trigonométrique

Posté par
tina 21-09-17 à 12:13

Bonjour,
j'ai la suite u_n= \sin(n).
1. Pourquoi cette suite n'est pas périodique? Vu que la fonction $\sin$ est périodique?
2. Comment calculer \lim_{n \to +\infty} \sin(n)?
Merci d'avance.

Posté par
jsvdbre : limite de fonction trigonométrique 21-09-17 à 12:25

Bonjour tina.

1. certes la fonction sin est périodique, mais il s'agit de celle qui est définie sur \R et sa période est 2 qui est un nombre irrationnel. Sa restriction à \N ne peut donc pas l'être puisqu'aucun entier n'est irrationnel.

2. La limite de cette suite n'existe pas.

Posté par
tinare : limite de fonction trigonométrique 21-09-17 à 12:50

1. Je ne comprend pas pourquoi la restriction à \mathbb{N} ne peut pas être périodique. Il est obligatoire qu'une période soir irrationnelle?
2. Comment justifier le fait que la limite n'existe pas?

Posté par
jsvdbre : limite de fonction trigonométrique 21-09-17 à 13:44

1. En général, une période n'est forcément irrationnelle. Mais dans ce cas particulier, la plus petite période de sin est 2. Toutes les autres en sont des multiples.

2. La manière la plus classique c'est de dire que si sin(n) a une limite, alors sin(n-1) et sin(n+1) ont la même limite et utiliser la formule sin(a+b) = ... pour conclure.

Posté par
tinare : limite de fonction trigonométrique 21-09-17 à 14:35

et \sin(nx) où x \in \mathbb{R}, est ce qu'elle est périodique? Et pourquoi?

Posté par
jsvdbre : limite de fonction trigonométrique 21-09-17 à 14:52

Il te faut trouver un T > 0 tel que (\forall x \in \R)(sin(n(x+T)) = sin(nx)) sachant que (\forall y \in \R)(sin(y+2\pi) = sin(y)) ...

Posté par
luzakre : limite de fonction trigonométrique 21-09-17 à 17:39

Bonsoir !
En fait pour avoir une suite périodique il faut trouver un entier strictement positif p tel que \forall n\in\N,\;u_{n+p}=u_n.
Si tu arrives lorsque u_n=\sin(n) j'aimerais voir la gueule de l'entier p...

Posté par
tinare : limite de fonction trigonométrique 21-09-17 à 19:03

si on fixe x \in \mathbb{R}, comment calculer rigoureusement \lim_{n \to +\infty} \sin(nx)?

Posté par
jsvdbre : limite de fonction trigonométrique 21-09-17 à 22:08

A ce niveau, la résolution de ce type de problème repose quasi exclusivement sur l'exploitation des formules de trigonométrie.
Si on suppose que \sin(nx) admet une limite p \in [-1;1] alors les suites \sin(nx+x) et \sin(nx-x) convergent aussi vers p.

Or on a : \sin(nx+x) = \sin(nx).cos(x)+\cos(nx).\sin(x) et \sin(nx-x) = \sin(nx).cos(x)-\cos(nx).\sin(x)

Donc en sommant les deux, on a que \sin(nx).\cos(x) \rightarrow p

1/ On suppose \cos(x) \neq 0

Alors il vient immédiatement que p = \dfrac{p}{\cos(x)} ce qui donne \cos(x) = 1 d'où x \equiv 0~[2.\pi]

In versement, si x \equiv 0~[2.\pi], alors la suite \sin(nx) est nulle et converge bien.

2/ On suppose \cos(x) = 0.

alors p = 0 donc la suite \sin(nx) converge vers 0.

Or \cos(x) = 0 \Leftrightarrow x \equiv \dfrac{\pi}{2}~[\pi].

Mais \left |\sin \left(\dfrac{n.\pi}{2} + k.\pi\right)\right| = 1 qui ne peut donc pas converger vers 0.

Conclusion : la suite \sin(nx) est convergente si et seulement si x \equiv 0~[2.\pi]

Posté par
Razesre : limite de fonction trigonométrique 22-09-17 à 02:32

1)  u_n \;\mbox {est périodique}\Leftrightarrow \exists n_0\in \mathbb{N}^{*},\forall n\in \mathbb{N}\mid u_{n+n_0}=u_{n}
  
Nous avons: \sin p-\sin q=2\cos {\dfrac {p+q}{2}}\sin {\dfrac {p-q}{2}}

u_{n+n_0}=u_{n}\Leftrightarrow \sin{(n+n_0)}=\sin{n}\Leftrightarrow \sin{(n+n_0)}-\sin{n}=0\Leftrightarrow 2\cos {\dfrac {2n+n_0}{2}}\sin {\dfrac {n_0}{2}}=0

Donc: \sin {\dfrac {n_0}{2}}=0\Leftrightarrow \dfrac {n_0}{2}=k\pi ;k\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow n_0=2k\pi;k\in \mathbb{Z} La seule seule solution possible est k=0 Donc  n_0=0 , u_n n'est pas périodique.

2) démonstration par l'absurde; supposons que: \lim_{n\to+\infty}u_n=\lim_{n\to+\infty}\sin n=l; l\in\mathbb{R}

Donc: \lim_{n\to+\infty}\cos n=l'; l'\in\mathbb{R}\mid l^2+l'^2=1
Avec \sin (2n)=2\sin n\cos n, en passant à la limite, nous obtenons: l(1-2l')=0

Cas l=0

Cas l'=\frac 12

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