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Limite et continuité.

Posté par
matheux14 12-12-20 à 09:54

Bonjour ,

Pourriez vous vérifier ce que j'ai fait pour cette première partie s'il vous plaît ?

Merci d'avance.

Partie A

Soit g la fonction définie sur \R par g(x)=2x^{3}-3x²-1.

1) Calculer les limites de g en +∞ et en -∞.

2) Étudier les variations de g et dresser son tableau de variation.

3) Démontrer que l'équation x\in \R , g(x)=0 admet une solution unique \alpha et que 1,6 < \alpha <1,7.

4) Démontrer que :

\forall x \in ]-\infty ;\alpha[ , g(x) < 0 et \forall x\in ]\alpha ;+\infty[ , g(x)>0.


Partie B

f est la fonction définie sur ]-1 ;+∞[ par f(x)=\dfrac{1-x}{1+x^{3}}.

On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ,I ,J).

Unités graphique : 2 cm.

1) Calculer les limites de f et en -1 et en +∞ puis interpréter graphiquement les résultats.

2-a) Démontrer que : \forall x \in ]-1 ;+\infty[ , f'(x)\dfrac{g(x)}{(1+x^{3})²}.

b) Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation.

c) Donner une équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 0.

d) Étudier la position de (C) par rapport à (T).

3) Tracer (T) et (C).

Réponses

Partie A

f(x)=2x^{3}-3x²-1 , Df=\R.

1) * \lim_{x\to-\infty}g(x)=\lim_{x\to-\infty}2x^{3}=-\infty

* \lim_{x\to+\infty}g(x)=\lim_{x\to+\infty}2x^{3}=+\infty

Donc \boxed{\lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty} et \boxed{\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty}

2) \forall x\in \R , g(x)=2x^{3}-3x²-1.

g est dérivable sur \R.

\forall x\in \R , g'(x)=6x²-6x

g'(x)=6x(x-1)

Étudions le signe de g'(x)

.6x(x-1)=0 <==> x=0 ou x =1.

Tableau de signe de g'(x).

Limite et continuité.

\forall x \in ]-\infty;0] \cup [1;+\infty[ , g'(x)\geq 0

\forall x\in [0 ;1] , g'(x) \leq 0.

Par conséquent , g est strictement croissante sur ]-∞ ;0[ et sur ]1 ;+∞[.

g est strictement décroissante sur ]1 ;0[.

*Tableau de variation de g.

g(0)=-1 et g(1)=-2

Limite et continuité.

3) *D'après le tableau de variation de g , -1 est le maximum de g sur ]-∞ ;1]. Donc l'équation g(x)=0 n'admet aucune solution dans ]-∞ ;1].

Or \forall x\in ]1 ;+\infty[ , g est continue et strictement croissante.

Et g(]1;+∞[)=]-2;+∞[.

Comme 0 \in ]-2 ;+∞[ , l'équation g(x)=0 admet une unique solution dans ]1;+∞[.

Finalement , g(x)=0 admet une unique solution \alpha dans \R.

* On a g(1,6)=-61/125 et g(1,7)=39/250 et g(\alpha)=0

Donc g(1,6) < g(\alpha) < g(1,7).

D'où 1,6 < \alpha < 1,7

4) On sait que \forall x \in ]-\infty;1[ , g(x) < 0 car le maximum de g sur ]-∞ ;1[ est -1 et de plus \alpha \in ]1;+\infty[ tel que 1,6<\alpha < 1,7.

Donc \forall x\in ]-\infty ;\alpha [ , g(x)<0.

\forall x \in ]1;+\infty[ , g est strictement croissante donc g(x)≥0 car g(\alpha)=0 puisque \alpha \in ]1;+\infty[.

Donc \forall x \in ]\alpha ;+\infty[ , g(x)>0.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité. 12-12-20 à 10:27

Bonjour,
C'est bon.
Je commencerais bien 1) et 2) par "g est une fonction polynôme ; donc ... "
Je passerais directement du tableau de signe de g'(x) au tableau de variation de g (ou même un seul tableau).

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité. 12-12-20 à 11:16

4) n'est pas très clair.
D'abord, ceci à modifier :

Citation :
\forall x \in ]1;+\infty[ , g est strictement croissante
C'est "g est strictement croissante sur ]1;+\infty["

Mieux séparer les justifications pour les deux intervalles ]-;1] et [1;+[
a)Sur ]-;1].
Ça, tu l'as bien justifié.

b) Sur [1;+[.
Utiliser g strictement croissante sur cet intervalle. pour justifier le signe à droite de , mais aussi à gauche de .

c) Conclure :
Positif sur ...
Négatif sur ...

Posté par
matheux14re : Limite et continuité. 12-12-20 à 11:32

OK.

Partie B

f(x)=\dfrac{1-x}{1+x^{3}} , \forall x \in ]-1;+\infty[.

1) \lim_{x\to-1}f(x) et \lim_{x\to+\infty}f(x).

*\forall x\in ]-1;+\infty[ ; f(x)=\dfrac{1-x}{1+x^{3}}=\dfrac{1-x}{(1-x)(1+x+x²}=\dfrac{1}{x²+x+1}

. \lim_{x\to-1}f(x)=\lim_{x\to-1}\dfrac{1}{x²+x+1}=1

. \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x²}=0

Donc \lim_{x\to-1}f(x)=1 et -1 \notin ]-1;+\infty[ donc f n'est pas continue en -1.

\lim_{x\to+\infty}f(x)=0 , la droite d'équation y=0 est asymptote horizontale à (C) en +∞.

2-a) \forall x \in ]-1;+\infty[ , f'(x)=\dfrac{(1-x)'(1+x^{3})-(1-x)(1+x^{3}'}{(1+x^{3})²}

f'(x)=\dfrac{-(1+x^{3}-(1-x)×3x²}{(1+x^{3})²}

f'(x)=\dfrac{-1-x^{3}-3x²+3x^{3}}{(1+x^{3})²}

f'(x)=\dfrac{2x^{3}-3x²-1}{(1+x^{3})²} or g(x)=-2x³-3x²-1

f'(x)=\dfrac{g(x)}{(1+x^{3})²}

b) Étudions le signe de f'(x)

On sait que \forall x\in ]-1;+\infty[ , (1+x^{3})²>0

Donc le signe de f'(x) est celui de g(x).

g(x)=2x^{3}-3x²-1 , \forall x \in \R.

D'après son tableau de variation , g est strictement croissante sur ]-∞ ;0[ donc sur ]-1 ;0[.

==> \forall x\in ]-1;0[ , g(x)>0.

g est strictement décroissante sur ]0;1[ donc \forall x\in [0;1] , g(x) < 0 et strictement croissante sur ]1;+∞[ ==> g(x) >0  \forall x \in [1;+\infty[.

Par conséquent , f'(x)>0 ;

\forall x \in ]-1;0[ \cup ]1;+\infty[.

f'(x)< 0 ; \forall x\in [0 ;1]

Donc f est strictement croissante sur ]-1;0[ et sur ]1;+∞[.

Et strictement décroissante sur [0;1].

* Tableau de variation de f.

\lim_{x\to-1}f(x)=1 f(0)=1 et f(1)=0.

Limite et continuité.

c) (T) : y= f'(0)(x-0)+f(0)

(T) : y = -13x+1

d) On a : \forall x\in ]-1;+\infty[ ; f(x)=\dfrac{1-x}{1+x^{3}} et (T): y=-13x+1

Étudions le signe de f(x)-(-13x+1).

\forall x\in ]-1;+\infty[ ; f(x)-(-13x+1)=\dfrac{x(13x^{3}-x²+12)}{1+x^{3}}

Je bloque

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité. 12-12-20 à 11:45

Attention, ta factorisation de \; x3+1 \; est fausse.
x3+1 \; ne s'annule pas pour x = 1, mais pour x = -1.
Donc factorisable par (x+1), pas par (x-1) ou (1-x).

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité. 12-12-20 à 11:52

Reprends donc la limite en -1.
Pour celle en +, il faut justifier ce que tu fais par le fait que f est une fonction rationnelle.

Le signe de f'(x) est faux.
Tu as étudié le signe de g(x) dans la partie A.
Dresse son tableau de signe pour conclure cette partie.
Ça devrait te permettre de corriger le signe de f'(x).

Il ne t'est pas interdit de visualiser la courbe de f pour avoir une idée des limites et sens de variation.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité. 12-12-20 à 11:54

2)c) est faux.

Posté par
carpediemre : Limite et continuité. 12-12-20 à 12:38

salut

qu'est-ce qui te permet d'affirmer cela :

matheux14 @ 12-12-2020 à 09:54

\lim_{x\to-\infty}g(x)=\lim_{x\to-\infty}2x^{3}

\lim_{x\to+\infty}g(x)=\lim_{x\to+\infty}2x^{3}

Posté par
carpediemre : Limite et continuité. 12-12-20 à 12:42

Sylvieg @ 12-12-2020 à 10:27

Je passerais directement du tableau de signe de g'(x) au tableau de variation de g (ou même un seul tableau).
il n'y a même pas besoin de tableau de signe pour un trinome depuis la première : ils ont un théorème qui leur permet de répondre en français !! et donner proprement le signe de g'(x)

et il faut donner ce signe proprement avant de faire le tableau de variation ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité. 12-12-20 à 16:21

Rebonjour carpediem,
En rapport avec ton message de 12h38, j'avais écrit ceci :

Citation :
Je commencerais bien 1) et 2) par "g est une fonction polynôme ; donc ... "

Posté par
matheux14re : Limite et continuité. 12-12-20 à 16:23

D'accord ,

f étant définie sur ]-1;+∞[ pour 1) je calcule la limite de f en -1 à droite ?

2-b) Étude de signe de f'(x).

On sait que \forall x \in ]-1;+\infty[ , (1+x³)² > 0.

Donc le signe de f'(x) est celui de g(x).

D'après l'étude du signe de g(x) à la question 4) de la partie A ,

\forall x\in ]-\infty ;1[ , g(x) < 0 et \forall x\in ]1;+\infty[ , g(x) ≥ 0 car g(\alpha)=0.

Donc \forall x \in ]-\infty;1[ , f'(x) < 0. Donc  \forall x \in ]-1 ; 1[ ,f'(x) < 0

et \forall x\in ]1;\alpha[ \cup ]\alpha;+\infty[ , f'(x) >0

* Tableau de variation de f(x).

Limite et continuité.

c) (T) : y: f'(0)(x-0) +f(0)

y=-x+1

(T): y= 1-x

d) On a : \forall x \in ]-1;+\infty[ , f(x)=\dfrac{1-x}{1+x^{3}} et (T) : y= 1-x.

Étude de signe de f(x)-(1-x).

\forall x\in ]-1;+\infty[ , f(x)-(1-x)=\dfrac{x²(x²-x)}{1+x^{3}}

Limite et continuité..

(C) est au dessus de (T) sur ]-1 ;0[ et sur ]1;+∞[.

(C) est au dessous de (T) sur ]0 ;1[

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité. 12-12-20 à 16:48

Citation :
Tu as étudié le signe de g(x) dans la partie A.
Dresse son tableau de signe pour conclure cette partie.
Ça devrait te permettre de corriger le signe de f'(x).
As-tu lu l'énoncé de la question 4) du A ) ???
Tu devrais reprendre cette question comme conseillé à 11h16.
Ça t'éviterait les erreurs dans la partie B.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité. 12-12-20 à 16:52

Pour d) le signe n'est pas justifié :
Signe de 1+x3 ?
Signe de x2 ?
Signe de x2- x après factorisation ?

Posté par
matheux14re : Limite et continuité. 12-12-20 à 17:19

Citation :
4) On sait que \forall x \in ]-\infty;1[ , g(x) < 0 car le maximum de g sur ]-∞ ;1[ est -1 et de plus \alpha \in ]1;+\infty[ tel que 1,6<\alpha < 1,7.

Donc \forall x\in ]-\infty ; \alpha [ , g(x)<0.

g est strictement croissante sur
]1 ; +∞[ doncc g(x)≥0 car g(\alpha)=0 puisque \alpha \in ]1;+\infty[.

Donc \forall x \in ]\alpha ;+\infty[ , g(x)>0.


Qu'est ce qui n'est pas bon là ?

Posté par
matheux14re : Limite et continuité. 12-12-20 à 17:22

Sylvieg @ 12-12-2020 à 16:52

Pour d) le signe n'est pas justifié :
Signe de 1+x3 > 0 sur ]-1;+∞[
Signe de  x2 > 0 sur ]-1;+∞[
Signe de x2- x après factorisation , pour tout x de ]-1 ;0[ U ]1;+∞[ , x²-x > 0 et pour tout x de ]0 ;1[ , x²-x < 0 car x²-x est un polynôme du second degré.

Posté par
matheux14re : Limite et continuité. 12-12-20 à 18:16

2-b) Étude de signe de f'(x).

On sait que \forall x \in ]-1;+\infty[ , (1+x³)² > 0.

Donc le signe de f'(x) est celui de g(x).

D'après l'étude du signe de g(x) à la question 4) de la partie A ,

\forall x\in ]-\infty ;\alpha[ , g(x) < 0 et \forall x\in ]\alpha;+\infty[ , g(x) ≥ 0 car g(\alpha)=0.

Donc \forall x \in ]-1;\alpha[ , f'(x) < 0.

et \forall x\in ]\alpha ;+\infty[  f'(x) >0 f(\alpha)=0

* Tableau de variation de f(x).

Limite et continuité.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité. 12-12-20 à 18:27

Je réponds au message de 17h19 :
Tu ne justifies pas le signe entre 1 et .
Pour le justifier, il faut utiliser g strictement croissante sur ...
Bref faire ce que je conseillais à 11h16 dans mon b) :

Citation :
b) Sur [1;+[.
Utiliser g strictement croissante sur cet intervalle. pour justifier le signe à droite de , mais aussi à gauche de .

Dans la partie B, le signe de f'(x) est faux.
Tu ne confondrais pas signe de f'(x) avec signe de g'(x) ?
f'(x) a le même signe que g(x) sur ]-1;+[. Pas le même signe que g'(x).

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité. 12-12-20 à 18:28

Messages croisés

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité. 12-12-20 à 18:29

C'est mieux !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité. 12-12-20 à 18:35

Il te reste à :
Justifier la limite de f à droite de -1 et interpréter graphiquement.

Préciser les points communs de la tangente avec la courbe dans l'avant dernière question.

Je vais regarder si je peux rajouter une question intéressante sur f().

Posté par
matheux14re : Limite et continuité. 12-12-20 à 18:49

\lim_{x\to-1}f(x)=\lim_{x\to-1}\dfrac{1-x}{1+x^{3}}

\lim_{x\to-1}(1-x)=1-(-1)=2

Et \forall x \in ]-1;+\infty[ , 1+x³> 0 car x \in ]-1;+\infty[ \iff x > -1 \iff x^{3} > -1 \iff x^{3}+1 > 0

Donc \lim_{x\to-1}f(x)=+\infty (à droite)

Posté par
matheux14re : Limite et continuité. 12-12-20 à 18:54

Les points d'abscisses 0 et 1 sont les points d'intersection de (T) et (C).

J'attends la question !

Et si pourrais aussi à faire mes exo sur le raisonnement par récurrence et par congruence.. Parce que je ne comprends vraiment pas grand chose..

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité. 12-12-20 à 19:00

Finalement, ce n'est pas très intéressant.
Je vais jeter un œil sur tes autres sujets.
Mais j'éviterai de faire doublon avec d'autres intervenants.


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