0.
  Tu risques de  te faire morigéner pour ton impolitesse par les gardiens de l'île !

1.
   Il faudrait quand même montrer qu'il existe une seule application y : ]-/2 , /2[ ]0 , +[  qui soit dérivable et vérifie  u'(x)tan(x) = y(x)ln(y(x)) pour tout x de  ]-/2 , /2[  ainsi que y(0) =   .

  Puis montrer que lorsque x /2 , y(x) tend vers un réel ou + .

2.
  Supposons qu'il  existe une telle y . L'ensemble [y > 1] est un ouvert contenant 0 . Soit U sa composante connexe qui contient 0 .
Pour x   U ]0 , /2[ on a donc y'(x)/y(x)ln(y(x)) = cos(x)/sin(x) donc x ln(ln(y(x))) - ln(sin(x)) est constante sur U  et aussi ln(y(x))/sin(x)  . Il existe donc c tel que y(x) = exp(csin(x)) pour  x   U ]0 , /2[ ce qui entraine que y(0) = 1 . C'est contradictoire
Il y a donc une erreur soit dans ce que je viens de raconter soit dans ton énoncé

Bonjour,


En posant : , j'avais trouvé aussi , d'où :

Donc:

Pour (a , b) ² , et x   ]-/2 , /2 [ posons

f_a(x)  = exp(asin(x))  si x 0                                
                                    = 1  si x  0
g_a(x) = 1    si x   0
                                    =   exp(bsin(x))si x > 0
  h_a,b(x)  =  exp(asin(x))  si x    0
                                           =  exp(bsin(x))  si x > 0  

Toutes ces applications sont solutions  (maximales) sur ]-/2 , /2 [   de l'ed   :   y ' . tan = y.(ln o y)
Il n'y a pas d'autres (la preuve n'est pas très difficile )

En tout cas toutes valent 1 en 0 et ont une limite facile à trouver quand x tant à   /2 .