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Niveau terminale
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Limite et intégrale

Posté par
Manga2 15-07-14 à 18:28

Salut tout le monde,
SVP je n'arrive pas à résoudre cet exercice. J'ai essayé plein de choses mais je n'y arrive pas. Pouvez-vous m'aider? Merci d'avance!

Soit f une fonction continue sur [0,1].

Montrer que \lim_{n\to +\infty}(n+1)\int_0^1{t^{n+1}f(t)\,dt}=f(1)

Posté par
carpediemre : Limite et intégrale 15-07-14 à 19:06

salut

peut-être noter F une (la) primitive de f (qui s'annule en 0 (1 ?)) puis une IPP ....

Posté par
Manga2re : Limite et intégrale 15-07-14 à 19:29

Merci!!!
Jai fait comme vous avez dit je trouve:
(n+1)\int_0^1t^{n+1}f(t)\,dt=F(1)-(n+1) \int_0^1t^nF(t)\,dt si F sannule en 0 et (n+1)\int_0^1t^{n+1}f(t)\,dt=-(n+1) \int_0^1t^nF(t)\,dt si F s'annule en 1. mais je trouve que cela ne mène a rien. La limite a trouver est f(1) et pas F(1).

Posté par
carpediemre : Limite et intégrale 15-07-14 à 19:42

ouais bof...

f est continue sur le compact [0, 1] donc bornée

donc casser l'intégrale de 0 à 1 - h et de 1 - h à 1 et borner ...

la première intégrale devrait tendre vers 0 ... mais aucune idée pour la deuxième ....

Posté par
Manga2re : Limite et intégrale 15-07-14 à 19:59

Jai utilise la definition des limites par epsilon en considerant limite de f(x) en 1- est f(1). effectivement comme tu la dit en cassant les integrales la premiere tend vers 0 mais la deuxieme vers epsilon+2|f(1)|

Posté par
Watarure : Limite et intégrale 15-07-14 à 20:20

Salut,

Désolé si je m'inscruste =D
Perso j'étais aussi pour l'IPP, mais pas dans le même sens que proposé précédemment.
Je la ferais en faisant apparaître (n+2)t^(n+1) et ainsi l'utiliser comme fonction à primitiver et à la place dériver f.

Ca donnerait un résultat de la forme lim f(1) - I avec I une intégrale en fonction de f' et f.
En se débrouillant bien je pense qu'on peut montrer que I tend vers 0.

J'ai pas fait tous les calculs, mais dans ma tête ça serait une possibilité

Posté par
Francchoixprobléme 15-07-14 à 20:40

On ne sait pas si f est dérivable!

Posté par
Watarure : Limite et intégrale 15-07-14 à 20:53

... J'avais pas fait attention à ce détail, c'est... dommage ^_^

Posté par
Rat-Sin-Car-Etre : Limite et intégrale 15-07-14 à 20:54

Hum, problème délicat.

Posté par
Manga2re : Limite et intégrale 15-07-14 à 20:58

Merci pour ton apparition bienvenue à toi!
On n'a pas indiqué que f est dérivable.
Avant de faire ce que j'ai mentionné, j'ai pensé à utiliser des sommations et théorème de la moyenne et trouver f(qqchose en fonction de n qui tends vers 1 quand n infini). Rien!

Posté par
Rat-Sin-Car-Etre : Limite et intégrale 15-07-14 à 21:04

Pareil. Inégalités, théorème de la moyenne .. Et rien.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et intégrale 15-07-14 à 21:04

Bonsoir,
J'ai la même idée que Carpediem, mais avec quelque chose du genre 1-1/(n+1).
Sinon, l'intégration par parties de 19h29 me semble fausse.

Citation :
(n+1)\int_0^1t^{n+1}f(t)\,dt=F(1)-(n+1) \int_0^1t^nF(t)\,dt

Il faut enlever le (n+1) écrit en premier , il y a du tn+1 devant F(t) à prendre en 1 et 0, donc inutile de supposer F(0) = 0 .

Posté par
Manga2re : Limite et intégrale 15-07-14 à 21:11

Oui désolé en fait c'est:
\int_0^1t^{n+1}f(t)\,dt=F(1)-(n+1) \int_0^1t^nF(t)\,dt

Citation :
Il faut enlever le (n+1) écrit en premier , il y a du  tn+1 devant  F(t) à prendre en 1 et 0, donc inutile de supposer  F(0) = 0 .  


Vous avez raison! On a donc  \int_0^1t^{n+1}f(t)\,dt=F(1)-(n+1) \int_0^1t^nF(t)\,dt quelque soit F la primitive de f.

Posté par
Francchoixconvergence uniforme 15-07-14 à 21:41

En fait t^n+1 ne con verge pas uniformément vers 0 sur [0; 1] car 1^{n+1}=1, mais, comme f est bornée, S\bigint_{0}^{1-\frac{\epsilon}{2}} (n+1)t^{n+1}f(t)dt tend vers 0 pour tout \epsilon. reste à étudier le cas:S\bigint_{1-\frac{\epsilon}{2}}^{1} (n+1)t^{n+1}f(t)dt.
Soit F une primitive de t->t^{n+1}f(t); on a : S\bigint_{1-\frac{\epsilon}{2}}^{1} t^{n+1}f(t)dt=F(1)-F({1-\frac{\epsilon}{2}), et F étant dérivable, d'après le théorème des accroissements finis, F(1)-F({1-\frac{\epsilon}{2})==f()\frac{\epsilon}{2};
reste à montrer que (n+1)\frac{\epsilon}{2} tend vers 1! Je tourne en rond!

Posté par
alb12re : Limite et intégrale 15-07-14 à 23:10

salut,
l'idee de couper en deux est excellente mais il faut au prealable remplacer f(t) par f(t)-f(1)+f(1)

Posté par
Manga2re : Limite et intégrale 15-07-14 à 23:15

En zappant sur net j'ai trouvé ce forum où la question est posée. La réponse exploite ce qu'on a discuté ainsi que la proposition d'alb12!
Merci à vous tous!

Posté par
Francchoixidée 15-07-14 à 23:36

Comme tout se passe au voisinage de 1, j'ai essayé (n+1)\int_{\frac{n}{n+1}}^{1}} t^{n+1}f(t)dt;ça donne:

\frac{n^{n+1}}{(n+1)^n}}\int_{\frac{n}{n+1}}^{1}} f(t)dt\leq(n+1)\int_{\frac{n}{n+1}}^{1}} t^{n+1}f(t)dt\leq(n+1)\int_{\frac{n}{n+1}}^{1}} f(t)dt, or pour tout n, il existe un réel \frac{n}{n+1}\leq\epsilon_n\leq 1 tel que (n+1)\int_{\frac{n}{n+1}}^{1}} f(t)dt=f(\epsilon_n), donc quand n+,

(n+1)\int_{\frac{n}{n+1}}^{1}} t^{n+1}f(t)dt, coincée entre 2 intégrales qui ont pour limite f(1) a pour limite f(1)

Posté par
Manga2re : Limite et intégrale 16-07-14 à 01:44

Bien joué! Elle est bien plus facile ta démonstration!

Posté par
arimare : Limite et intégrale 16-07-14 à 03:13

Bonjour,
pourquoi ta borne inférieure dépend de n? Elle devrait en être indépendante sinon ça ne démontre pas vraiment le résultat.

Posté par
arimare : Limite et intégrale 16-07-14 à 03:23

En reprenant l'identité de Manga à 21h11 qui est

\int_0^1t^{n+1}f(t)\,dt=F(1)-(n+1) \int_0^1t^nF(t)\,dt

on montre facilement que l'intégrale de gauche tend vers 0 (direct, absolue convergence car f est bornée), donc le terme de droite tend vers 0, donc

\lim (n+1) \int_0^1t^nF(t)\,dt  = F(1) = \lim (n+1) \int_0^1t^{n+1}F(t)\,dt   

Autrement dit, le résultat est facilement montré pour les fonctions F dérivables à dérivée continue sur [0,1].

Ensuite, j'imagine qu'un simple résultat par densité devrait fonctionner, par exemple Stone-Weierstrass?

Posté par
arimare : Limite et intégrale 16-07-14 à 04:41

En fait, on peut directement le calculer sur des polynômes ou construire une suite de fonctions C1 qui converge uniformément vers f. Si on préfère le montrer directement, voici une esquisse de preuve rapide.

Soit \epsilon >0, alors il existe \delta>0
tel que  |x-1|<\delta => |f(x)-f(1)|<\epsilon
Soit 1>M>1-delta>0
alors
|\int_M^1 nt^n(f(t)-f(1))dt| \leq \epsilon \int_M^1 nt^ndt  
Ensuite on passe à la limsup.

Sur [0,M] le calcul est direct.

Sauf erreur, ça permet de conclure.

Posté par
Manga2re : Limite et intégrale 16-07-14 à 11:55

Citation :
pourquoi ta borne inférieure dépend de n? Elle devrait en être indépendante sinon ça ne démontre pas vraiment le résultat.

Effectivement je viens de constater quelque chose.
Fracchoix t'as eu \\ \dfrac{n^{n+1}}{(n+1)^n}}\int_{\frac{n}{n+1}}^1 f(t)dt\le (n+1)\int_{\frac{n}{n+1}}^1 t^{n+1}f(t)dt\le (n+1)\int_{\frac{n}{n+1}}^1 f(t)dt parce que \dfrac{n}{n+1}\le t\le 1 donc \dfrac{n^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}\le t^{n+1}\le 1.

Mais la tu multiplies par (n+1)f(t). Mais on ne connait pas le signe de f(t) pour t\in\left[ \dfrac{n}{n+1},1\right].

Il faut donc mentionner que n>N tels que \left[ \dfrac{n}{n+1},1\right] soit un voisinage où f a seul signe qui est en fait celui de f(1) par continuité de f. Un tel voisinage existe bien (j'ai déjà démontrer cela car j'en ai eu besoin dans un exercice). Que les bornes restent à leurs places (f(t)\ge 0) ou changent de place (f(t)\le 0). Reste le cas de f(1)=0. Soit au voisinage f est nulle soit elle est strictement positive ou négative, facilement démontrable en utilisant le résultat précédent.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et intégrale 16-07-14 à 12:09

Bonjour, f est minorée sur [0;1] ; en notant m un minorant, je pense qu'on peut ramener la démonstration à g , avec g(t) = f(t) - m , où g est positive sur [0;1].
L'intégrale de tn+1f(t) est alors la somme de celle de tn+1g(t) et mtn+1 .
Cette dernière intégrale est égale à m/(n+2) et la limite de (n+1)m/(n+2) est m .
Il ne reste plus qu'à démontrer que \lim_{n\to +\infty}(n+1)\int_0^1{t^{n+1}g(t)\,dt}=g(1) avec g positive sur [0;1]

Posté par
Francchoixprobléme 16-07-14 à 12:17

Ce qui est surprenant avec cet exercice, c'est que quelques soit \epsilon>0 fixé;

\lim (n+1) \int_0^1t^{n+1}f(t)\,dt   = \lim (n+1) \int_{1-\epsilon}}^1t^{n+1}f(t)\,dt .

Pour \epsilon>0 fixé, il existe \delta>0 tel que `|f(t)-f(1)|<\epsilon.

Si \delta<\epsilon, (n+1) \int_{1-\delta}}^1t^{n+1}|f(t)-f(1)|\,dt
(n+1)\epsilon \int_{1-\delta}}^1t^{n+1}\,dt (n+1)\epsilon\delta\frac{1}{\delta}\int_{1-\delta}^1t^{n+1}\,dt(n+1)\epsilon\delta t_0^{n+1}, avec  1-\delta<t_0<1, et donc:
\lim (n+1) \int_{1-\delta}}^1t^{n+1}|f(t)-f(1)|\,dt =0

Si \delta>\epsilon, ça se passe de la même façon; il y a longtemps que j'avais fais un exercice de ce genre; on se rouille!

Posté par
arimare : Limite et intégrale 16-07-14 à 12:42

En fait, cette suite est ce que l'on appelle une approximation de l'unité. C'est ce qui fait que tu trouves ça "surprenant" parce que la masse se concentre de plus en plus autour de 1 de sorte à finalement "devenir" un Dirac à la limite.

Posté par
Manga2re : Limite et intégrale 16-07-14 à 13:02

Citation :
Il ne reste plus qu'à démontrer que   \lim_{n\to +\infty}(n+1)\int_0^1{t^{n+1}g(t)\,dt}=g(1)  avec  g  positive sur   [0;1]


Là on utilise directement \dfrac{n^{n+1}}{(n+1)^n}}\int_{\frac{n}{n+1}}^1 g(t)dt\le (n+1)\int_{\frac{n}{n+1}}^1 t^{n+1}g(t)dt\le (n+1)\int_{\frac{n}{n+1}}^1 g(t)dt ça résout le problème. Merci!

Posté par
carpediemre : Limite et intégrale 16-07-14 à 13:05

Francchoix :: 23h36 et 12h17 ::

bien vu l'idée de prendre entre 0 et n/(n + 1) et n/(n + 1) et 1

la première intégrale tend vers 0

pour la deuxième on peut conclure directement il me semble :

I = (n + 1)\int_{\frac {n}{n + 1}}^1 t^nf(t)dt est la valeur moyenne de la fonction g : t \to t^nf(t)

d'après le théorème de la valeur moyenne il existe u dans l'intervalle [n/(n + 1), 1] tel que I = g(u)

or g est continue et tend vers g(1) = f(1) quand n tend vers l'infini ....

Posté par
Francchoixconvergence uniforme 16-07-14 à 13:58

En fait, je n'ai pas vu tout de suite que (n+1)t(n+1)f(t) convergeait simplement mais pas uniformément vers la fonction nulle, en plus comme tu le dis le sup est atteint en t=1 et tend vers l'infini; on  retrouve le même problème avec une suite de densités de probabilité; par exemple, avec tout simplement Sn=Sup(Xi) où pour i=1 à n les v.a.Xi sont indépendantes et suivent toutes une loi uniforme sur [0; 1];  Sn a pour densité t->nt(n-1), donc on va se retrouver avec pour limite une fonction de Dirac. Evidemment, on connait l'intégrale.

On retrouve un signal de Dirac en électricité pour symboliser une mise sous tension supposée instantanée et on le définit pour que sa transformée de Laplace soit p->1 et on résout des équations différentielles sans se poser de questions.

Donc finalement, il fallait se placer au voisinage de 1 et même très très prés de 1; amusant.

Posté par
alb12re : Limite et intégrale 16-07-14 à 14:00

@carpediem "la première intégrale tend vers 0". Peux-tu preciser ?

Je maintiens et detaille ma proposition (sans faire d'ipp):
f(t)=f(t)-f(1)+f(1)
donc on obtient 3 integrales, j'oublie le n+1 devant,
1/ I1=integrale de 0 à 1 de t^n*f(1)dt on montre que (n+1)*I1=f(1)
2/ I2=integrale de 0 à 1-eta de t^n*(f(t)-f(1))dt on montre en utilisant la continuite de f que la limite de (n+1)*I2 est 0
3/ I3=integrale de 1-eta à 1 de t^n*(f(t)-f(1))dt on montre en utilisant la continuite de f  en 1 que la limite de (n+1)*I3 est 0

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et intégrale 16-07-14 à 14:02

Un petit historique pour préserver plusieurs ego dont le mien :
C'est toi Carpediem qui a eu le premier l'idée de casser l'intégrale avec 1-h.
J'ai ensuite proposé 1-1/(n+1) sans essayer.
Puis Franchois a donné la démonstration avec n/(n+1).

La différence entre 1-1/(n+1) et n/(n+1) est moins que

Posté par
carpediemre : Limite et intégrale 16-07-14 à 14:28

alb12 :: parce que pour t < 1 t --> tn+1 tend "plus vite" vers 0 que n + 1  ne tend vers l'infini .... bien entendu à rédiger avec plus de rigueur ....

sur [0, 1 - h], t --> tn converge uniformément vers 0 ....

oui je n'ai pas pensé à prendre h(n) = 1 - 1/(n + 1) = n/(n + 1)

Posté par
FrancchoixD'accord 16-07-14 à 15:09

Bonjour Sylvieg,

Tu as encore raison! en fait, j''ai refait une démonstration avec des bornes indépendantes de n;
hier, j'ai démontré autre chose;


j'ai posé I_n = (n + 1)\int_{\frac {n}{n + 1}}^1 t^nf(t)dt et  la valeur moyenne donne:  

I_n=(t_n)^{n+1}f(t_n), avec  \frac {n}{n + 1}<t_n<1  mais si à la limite

f(\frac {n}{n + 1}))->f(1),  ({\frac {n}{n + 1}})^{n+1}->e^{-1}, donc si f(1)\geq 0

f(1)e^{-1}< \lim   (n + 1)\int_{\frac {n}{n + 1}}^1 t^nf(t)dt<f(1); j'ai donc établi un autre résultat!

Posté par
Francchoixvariante 16-07-14 à 17:37

si l'on pose I_n = (n + 1)\int_{\frac {n}{n + 1}}^1 t^{n+1}f(t)dt,   on sait que quand   n->+oo,   \\ f(1)e^{-1}\leq I_n\leq{f(1)},    donc,  In  est elle convergente et si oui quelle es sa limite?
Quite à considérer -f, on suppose f(1)0.

Posté par
alb12re : Limite et intégrale 16-07-14 à 19:22

"la première intégrale tend vers 0" a dit carpediem
Quelqu'un peut-il me dire quelle est precisement cette integrale ?

Posté par
Manga2re : Limite et intégrale 16-07-14 à 19:35

"la première intégrale tend vers 0": Il s'agit de (n+1)\int_0^{\frac{n}{n+1}}t^{n+1}f(t)\,dt.

Posté par
FrancchoixEssai 16-07-14 à 19:55

J'ai fait quelques essais avec la calculatrice avec des fonctions qui vérifient, f(1)>0, la suite In semble croissante et convergente. limite non prévisible! a vous de jouer...

Posté par
Francchoixerrata 16-07-14 à 20:11

Pour t=\frac{n}{n+1} et pour n assez grand l'intégrante est équivalente à \frac{n+1}{e}f(1) et donc (n+1)\int_0^{\frac{n}{n+1}}t^{n+1}f(t)\,dt ne tend pas du tout vers 0; par contre  
I_n = (n + 1)\int_{\frac {n}{n + 1}}^1 t^{n+1}f(t)dt semble avoir une limite; à démontrer!

Posté par
alb12re : Limite et intégrale 16-07-14 à 22:28

ce n/(n+1) ne semble pas mener à grand-chose,
l'integrale precedente proposee par Francchoix a peut-etre une limite, rien n'est moins sur.
A supposer qu'elle en ait une il suffit de prendre f(t)=k*t pour se rendre compte que cette limite peut prendre n'importe qu'elle valeur.

J'en reste à ma demo de 14h00 mais il faut remplacer t^n par t^(n+1)
le nerf de la guerre est la continuite de f en 1
Je pars de la definition: quel que soit epsilon strictement positif, il existe un reel eta strictement positif tel que etc ...
la suite dans mon post de 14h00.

Posté par
arimare : Limite et intégrale 17-07-14 à 01:15

On dirait que personne ne lit ce que j'ai écrit...

Comme le mentionne alb12, le fait de faire varier la borne de l'intégrale ne donne pas la réponse, c'est une erreur ... La limite de cette intégrale peut exister sans pour autant n'avoir aucun rapport avec ce que l'on cherche (alb12 donne un exemple évident).

J'ai donné une idée hier soir qui mène directement à la conclusion.
On a convergence sur tout compact de [0,1[ vers 0 et c'est immédiat (f est bornée donc on majore l'intégrale de la valeur absolue et on peut majorer par une intégrale que l'on calcule explicitement).

Soit \epsilon>0, alors il existe \delta>0 tel que

|f(x)-f(1)| \leq \epsilon dès que |x-1|\leq \delta

ce que l'on peut écrire

f(1)-\epsilon\leq f(x) \leq f(1)+\epsilon sur l'ensemble [\delta,1]

Ainsi,

(f(1)-\epsilon)\int_{\delta}^1 t^{n+1}(n+1)dt \leq \int_{\delta}^1 t^{n+1}(n+1)f(t)dt \leq (f(1)-\epsilon)\int_{\delta}^1 t^{n+1}(n+1)dt

L'intégrale qui intervient à gauche et à droite vaut
\frac{n+1}{n+2} - (n+1)\frac{\delta^{n+2}}{n+2}
ce qui converge très clairement vers 1 quand n tend vers l'infini.

Ainsi, en prenant la limsup et la liminf de l'intégrale du milieu on a

f(1)-\epsilon \leq \liminf \int_{\delta}^1 t^{n+1}(n+1)f(t)dt \leq \limsup \int_{\delta}^1 t^{n+1} (n+1)f(t)dt \leq f(1)+\epsilon.

De plus, ma remaque de début permet de conclure que
\lim \int_{\delta}^1 t^{n+1}(n+1)f(t)dt = 0.

On en tire donc que
\liminf \int_{\delta}^1 t^{n+1}(n+1)f(t)dt = \limsup \int_{\delta}^1 t^{n+1} (n+1)f(t)dt=f(1)

L'erreur à ne pas faire ici est de passer à la limite en même temps qu'on essaie de contrôler la continuité. C'est une erreur classique et il vaut mieux contrôler la continuité avec des epsilon / delta et passer à la limite le paramètre n, ou bien l'inverse, mais c'est très difficile de contrôler les deux en même temps.

En général, on fixe epsilon et on arrive à montrer que la limite est toujours à epsilon près de ce que l'on veut, pour n'importe quel epsilon>0, c'est ce que l'on a fait ici et ça permet de ne pas jouer sur plusieurs paramètres en même temps.

Une autre preuve est tout simplement de faire ce que j'ai fait en utilisant la densité des fonctions C1 ou des polynômes, ce qui se fait facilement aussi.

Posté par
arimare : Limite et intégrale 17-07-14 à 01:18

Pardon, la dernière équation devrait être

\liminf \int_{0}^1 t^{n+1}(n+1)f(t)dt = \limsup \int_{0}^1 t^{n+1} (n+1)f(t)dt=f(1)

Posté par
Francchoixerrata 17-07-14 à 11:45

Bonjour Arima,

personnellement, j'ai lu ce que tu as écrit avec intérêt. mais tu commences par:

f(1)-\epsilon\leq f(x) \leq f(1)+\epsilon    sur l'ensemble [\delta,1] au lieu de:

f(1)-\epsilon\leq f(x) \leq f(1)+\epsilon     sur l'ensemble [1-\delta,1],  donc on remplace:  

(f(1)-\epsilon)\int_{\delta}^1 t^{n+1}(n+1)dt \leq \int_{\delta}^1 t^{n+1}(n+1)f(t)dt \leq (f(1)-\epsilon)\int_{\delta}^1 t^{n+1}(n+1)dt  par:

(f(1)-\epsilon)\int_{1-\delta}^1 t^{n+1}(n+1)dt \leq \int_{1-\delta}^1 t^{n+1}(n+1)f(t)dt \leq (f(1)+\epsilon)\int_{1-\delta}^1 t^{n+1}(n+1)dt ;

tu obtiens pour les 2 intégrales extrêmes  \frac{n+1}{n+2} - (n+1)\frac{{(1-\delta)}^{n+2}}{n+2}  et

comme  0<1-\delta<1,

\frac{n+1}{n+2} - (n+1)\frac{{(1-\delta)}^{n+2}}{n+2}   converge vers 1 et tu peut achever ta

démonstration!

Posté par
arimare : Limite et intégrale 17-07-14 à 12:59

ok ok, c'est une typo mais ça ne change pas l'idée

J'aurais bien voulu connaître les outils que manga2 a à sa disposition et notamment à quel niveau il se situe car ce n'est clairement pas un exercice de terminale et si ma sup est loin, je ne sais même pas si c'est de niveau sup.

Posté par
Manga2re : Limite et intégrale 17-07-14 à 13:12

Si si je suis en terminale arima. Malgré cela ce que vous utilisez est bien à mon niveau sauf les limsup et liminf, convergence uniforme et compacité, des termes qui ont été utilisés dans ce topic. L'exercice se situe dans la partie "exercices de recherche" d'un solutionnaire de terminale (j'ai fait une traduction mot par mot. Ce sont en fait les exercices d'extrêmes difficulté pour les élèves).

Posté par
alb12re : Limite et intégrale 17-07-14 à 13:32

ma demo qui utilise le meme type de raisonnement reste du niveau d'un tres bon eleve de terminale
il faut juste savoir traduire la continuite de f en 1 avec les quantificateurs
il n'y a que des majorations d'integrales à faire.

Posté par
Francchoixdifficulté 17-07-14 à 15:32

Arima,

Je sais très bien que c'était une étourderie; j'en fait bien souvent! Quand à la difficulté, à l'époque du bac C, c'est exo aurait été normal; exemple bac C Orléans 1980 (tout petit extrait, juste la première question du Pb sur une vingtaine):

Soit I_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}tan^n(x)dx, démontrer que I_nconverge vers 0. Aucune indication; c'était à l'élève de couper pour \epsilon>0 fixé, l'intervalle
[0, \frac{\pi}{4}] en [0, \frac{\pi}{4}-\frac{\epsilon}{2}], de montrer que pour un certain rang \int_{0}^{\frac{\pi}{4}-\frac{\epsilon}{2}}tan^n(x)dx\leq \frac{\epsilon}{2}
puis de justifier que \int_{\frac{\pi}{4}-\frac{\epsilon}{2}}^{\frac{\pi}{4}}tan^n(x)dx\leq \frac{\epsilon}{2}, puis de conclure:
quelque soit \epsilon>0 , on peut trouver N tel que pour n\leqN ,  I_n\leq\epsilon  et donc le résultat.
En fait quand on était en terminale, cet exercice était classique mais pas très difficile et on avait manipulé les définitions sur limites et continuité très souvent; donc l'exo qu'on vient de faire, avec quand même une indication aurait été délicat sans plus. le problème, c'est que tous ces bons réflexes on les a perdu et que l'on cafouille sur un exercice plus délicat.
Heureusement que Manga2 doit encore avoir des réserves, qu'on s'entraîne un peu.

Posté par
Francchoixsuite 17-07-14 à 19:39

Je reprends me suite I_n =\int_{\frac{n}{n+1}}^{1}(n+1)t^{n+1}f(t) dt où f est continue;
Pour tout \epsilon>0, on peut trouver \delta>0, tel que |t-1|\leq \delta  entraîne |f(t)-f(1)|\leq \epsilon.(On suppose, sans perdre de généralité que f(1)>0)

Soit donc  \epsilon>0, et \delta>0; on peut trouver un entier N_1, tel que pour n\geq N_1, \frac{1}{n+1}<\delta; on aura donc pour n\geq N_1,

(f(1)-\epsilon)\int_{\frac{n}{n+1}}^{1}(n+1)t^{n+1} dt\leq\int_{\frac{n}{n+1}}^{1}(n+1)t^{n+1}f(t) dt\leq(f(1)+\epsilon)\int_{\frac{n}{n+1}}^{1}(n+1)t^{n+1} dt

On pose J-n= \int_{\frac{n}{n+1}}^{1}(n+1)t^{n+1} dt=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n+1}{n+2}(\frac{n}{n+1})^{n+2;

On montre facilement que J_n a pour limite   1-e^{-1},  donc il existe un entier N_2 tel que pour n\geq N_2,  1-e^{-1}-\epsilon\leq J_n\leq1-e^{-1}+\epsilon;

on peut donc écrire, pour n\geq sup(N_1; N_2)=N:
(f(1)-\epsilon)(1-e^{-1}-\epsilon)\leq\int_{\frac{n}{n+1}}^{1}(n+1)t^{n+1}f(t)dt dt\leq(f(1)+\epsilon)(1-e^{-1}+\epsilon);

arrivé ici il est facile de trouver un réel M positif, tel que :

(f(1)(1-e^{-1})-M\epsilon\leq\int_{\frac{n}{n+1}}^{1}(n+1)t^{n+1}f(t)dt dt\leq {f(1)(1-e^{-1})+M\epsilon,   ce qui achève la démonstration.

Posté par
Rat-Sin-Car-Etre : Limite et intégrale 17-07-14 à 20:00

C'est quel livre Manga2 ?

Posté par
Manga2re : Limite et intégrale 17-07-14 à 20:53

Francchoix: effectivement. Je suis maintenant en train de faire un exo, puis je passerai à un problème concernant les intégrales de Wallis et celles de Gauss (le titre). Au tout début y'a I_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^n(x)dx.
Ce genre d'exercices n'est malheureusement pas un classique; s'il avait été posé au BAC catastrophe générale. Quant à la définition des limites en utilisant les quantificateurs, malheureusement ça reste une définition sans exercices. Heureusement à mon école l'année dernière la première limite calculé l'a été avec définition et on l'a utilisé pour prouver certains propriétés. Cette année aussi on l'a utilisés pour prouver des propriétés des suites numériques. Et puis (voir ce que je dirai à Rat-Sin-Car-Et).

Rat-Sin-Car-Et: Dima Dima: Analyse. Mais il s'agit d'une ancienne édition. Cet exercice n'est pas évoqué dans la nouvelle version (eeeh oui le niveau baisse avec le temps).

Posté par
Manga2re : Limite et intégrale 17-07-14 à 20:57

Ici notre bac (en arabe mais traduit en français. Voir les postes ci-dessous. N'oubliez pas ex.3 des nombres complexes qui est en bas loin des autres).

Posté par
Rat-Sin-Car-Etre : Limite et intégrale 17-07-14 à 22:57

Introuvable sur internet celui la. Y'a que celui pour les spé Svt.

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