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limite fonction composée

Posté par
gawe 23-10-20 à 08:11

Bonjour j'ai besoin d'une confirmation car je ne suis pas sûr du tout que ca soit correct.
merci beaucoup par avance.

voici l'enoncé:

Pour réel a, on considère la fonction fa telle que :
f_a(x)=\frac{1}{x²+a}


1)Avec le logiciel de géométrie dynamique, créer un curseur a, puis construire la courbe représentative de fa

2) Faire des conjectures sur les variations et les limites de la fonction fa selon les valeurs de a

3) Démontrer ces conjectures

4) Écrire fa comme la composée de deux fonctions que l'on déterminera


1)J'ai fait la première question avec géogebra.
(C'est la première fois que je vois ca j'ai un peu de mal a comprendre surtout "le curseur")
J'ai bien remarqué qu'en fonction de a la courbe change de forme.

2)Je conjecture qu'il y a une asymptote vertical ( en 0?????)
La limite en +\propto et en- \propto est 0

3) Démontrons ces conjectures

\lim_{x\to \propto}f(x)=\frac{1}{x²+a}

\lim_{x\to -\propto} f(x)= 0^+

\lim_{x\to +\propto} f(x)= 0^+

je sais pas comment demontrer l'asymptote vertical.
4)
soit g(x)=x²+a
et
h(x)=\frac{1}{x}

Alors
f_a (x)= h(g(x))


merci encore.


Posté par
Sylvieg Moderateurre : limite fonction composée 23-10-20 à 08:28

Bonjour,
Je ne peux pas t'aider pour 1).
Par contre, pour l'asymptote verticale, n'as-tu pas remarqué qu'il n'y en a pas tout le temps ?
Je pense que la première chose à faire, c'est déterminer l'ensemble de définition de ta fonction.
Si tu ne sais rien de plus sur a que "réel", il y a plusieurs cas à envisager pour l'ensemble de définition.

Posté par
gawere : limite fonction composée 23-10-20 à 14:12

merci beaucoup pour votre aide.

Si j'ai bien remarqué que l'asymptote n'est pas présent tout le temps.

et oui je ne sais rien de plus sur a qu'il est réel.


lorsque x>0
  pas d'asymptote

lorsque x<0
il y a une asymptote verticale en 0.


C'est bien ca?

et merci encore

Posté par
Sylvieg Moderateurre : limite fonction composée 23-10-20 à 15:33

Non.

Citation :
Je pense que la première chose à faire, c'est déterminer l'ensemble de définition de ta fonction.

Posté par
gawere : limite fonction composée 23-10-20 à 16:52

L'ensemble de définition est R.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : limite fonction composée 23-10-20 à 16:59

Je t'invite à réfléchir sur le cas a = -4.

Posté par
gawere : limite fonction composée 23-10-20 à 21:14

Pour a=-4
J'ai deux asymptote vertical
La première en -2 et la deuxième en +2.
Mais oui bien sûr
Lorsque x^2 = a
Donc quand x=\sqrt{a}
On a une asymptote vertical.

Ca serait ma conjecture.

Maintenant il faut se servir  d'un tableau de variation.
Puis montrer que la limites en x=\sqrt{a} est infini?

C'est bien ça?

Posté par
gawere : limite fonction composée 24-10-20 à 05:57

Et aussi montrer la limite en x=-\sqrt{a} est infini.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : limite fonction composée 24-10-20 à 08:15

Tu écris des \sqrt{a} alors que a = -4

Commence par traiter le cas a = -4 en entier et avec rigueur : f(x) = 1/(x2-4)
On verra à généraliser après.

Posté par
gawere : limite fonction composée 25-10-20 à 12:11

Pour le cas a = - 4

l'ensemble de définition est  ]-\propto ; -2[ \cup ]-2;2[ \cup ]2;+\propto[

tableau de variation

lorsque -\propto < x < 2 f(x) est croissant
lorsque -2<x<0   f(x) est croissant
lorsque 0<x<2 f(x) est décroissant
lorsque 2<x<+\propto f(x) est décroissant

il y a bien des asymptote vertical en -2 et 2.

Je vois toujours pas comment généralisé.

Posté par
gawere : limite fonction composée 25-10-20 à 16:43

2) conjecture en fonction des valeurs de a.

Lorque a>0
L'ensemble de définition est R.

quand -\propto<x<0 ,  f(x) est croissante
quand 0<x<+\propto , f(x) est décroissante.

pas d'asymptote

Lorsque a=0
La fonction est définie sur R - {0}

quand -\propto<x<0 ,  f(x) est croissante
quand 0<x<+\propto , f(x) est décroissante.

Il y a une asymptote verticale en x=0


Lorsque a<0
cherchons l'ensemble de définition:
x²+a=0
donc x²=-a (ca parait bizzare mais a est négatif donc -a est positif) peut être qu'on ne devrait pas formuler comme ca.


Il y a deux asymptotes verticales en x=\sqrt{-a}
et x=-\sqrt{-a}

merci encore pour votre patience et pout tout.

Posté par
gawere : limite fonction composée 26-10-20 à 02:54

Bonjour,

Aurai-je fais une erreur sur le cas a = - 4 ?

Ou

Sur autre(s) chose(s)?

Merci beaucoup pour votre aide.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : limite fonction composée 26-10-20 à 07:35

Pour le cas a = -4, tu as compris les conjectures.
Mais on ne dit pas

Citation :
quand -\propto<x<0 , f(x) est croissante
On dit
La fonction f est croissante sur l'intervalle ...

Pour le cas général :
Oui, quand a < 0 alors -a > 0
Si ça te dérange, tu poses b = -a.

Pour te clarifier cette histoire du signe de -a :
Ne le lis pas "moins a" mais "l'opposé de a".
D'ailleurs avec une calculatrice, ce n'est pas la même touche.

Posté par
gawere : limite fonction composée 26-10-20 à 08:21

Très bien, merci beaucoup!

pour les conjectures c'est ok.

il faut autre chose pour démontrer ou juste calculer les limites dans chaque cas ?

merci encore.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : limite fonction composée 26-10-20 à 08:26

Au 3), on demande de démontrer.
Les variations et les limites.

Posté par
gawere : limite fonction composée 27-10-20 à 10:43

Bonjour,
pour le
2)
Lorque a>0
L'ensemble de définition est R.

La fonction f est croissante sur l'intervalle ]-\propto ;0]
La fonction f est décroissante sur l'intervalle [0;+\propto;[

il n'y a pas d'asymptote

Lorsque a=0
La fonction est définie sur R - {0}

La fonction f est croissante sur l'intervalle ]-\propto ;0[
La fonction f est décroissante sur l'intervalle ]0;+\propto;[
Il y a une asymptote verticale en x=0


Lorsque a<0
cherchons l'ensemble de définition:
x²+a=0
donc x²=-a

posons b=-a
Il y a deux asymptotes verticales en x=\sqrt{b}
et x=-\sqrt{b}

3) Démontrons les variation de f:
calcul de f':
f(x)=\frac{1}{x²+a}

f'(x)=\frac{-2x}{(x²+a)²}

donc
la dérivée f' est positive sur l'intervalle ]-\propto;0]
la dérivée f' est négative sur l'intervalle [0;+\propto]

Il y a un cas ou x=0 et a=0 qui ne fait pas parti de l'ensemble de définition de f'.

donc

La fonction f est croissante sur l'intervalle ]-\propto ;0[
La fonction f est décroissante sur l'intervalle ]0;+\propto;[

Pour les limites je fais ca au plus vite et reviens vers vous.

Posté par
gawere : limite fonction composée 27-10-20 à 10:44

merci beaucoup

Posté par
Sylvieg Moderateurre : limite fonction composée 27-10-20 à 10:51

C'est mieux

Citation :
Il y a une asymptote verticale d'équation x=0

Citation :
Il y a deux asymptotes verticales d'équation x=\sqrt{b}
et x=-\sqrt{b}

Tu ne parles pas des variations quand a < 0 dans 2).

Pour le 3), préciser que le calcul de la dérivée se fait pour x dans l'ensemble de définition.
Il faut encore séparer les cas pour parler des variations sur des intervalles où la fonction est définie.


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