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Limite suite et fonction et récurrence
Bonjour j'ai besoin d'aide avec cet exercice :
Un est le nombre en million de foyers ayant une TV l'année n
n=0 en 2005,u0=1, pour tout n=>0
Un+1=-0,1Un2+2Un
1) Quel est le nombre de foyer ayant une TV en 2006 ?
2)f la fonction définie sur [0;20] par f(x)=-0,1x2+2x
a) dériver f et étudier ses variations sur [0;20]
b)Résoudre dans l'intervalle f(x)=x
c)On donne la courbe de f avec une droite d'équation y=x
Représenter les 5 premiers termes de la suite
3)montrer par récurrence que pour tout n apparente à N,
0<=Un<=Un+1<=10
4)montrer que la suite (Un) est convergente et déterminer sa limite
Pour la question 1) il faut faire U1=-0,1*1^2+2*1=1,9 ?
2)a)f'(x)=-0,2x+2
Les variations sur [0;20]
On obtient un tableau de variation avec croissante de 0 à 10 et décroissante de 10 à 20 et donc positif puis négatif sur les mêmes intervalles
b) -0,1x2+2x=x
-0,1x2+x=0
On fait delta
Delta=1>0
Donc deux racines
X1=0 et x2=10 ( j'aurai fait une erreur ? X1 ne devrait pas être dans l'intervalle et seul X2 devrait résoudre f(x)=x) ?
Donc X2 est la solution car f est définie sur [0;20]
c) pas besoin de corriger
3) pas besoin de corriger
4)la suite est majorée par 10 et croissante et est donc convergente
Soit l la limite,
l=-0,1l^2+2l
-0,1l^2+1l=0
Je refais delta et je trouve comme pour la question b)
La limite est 10
l=10
Merci d'avance
bonsoir
1) oui
2) On obtient un tableau de variation avec croissante de 0 à 10 et décroissante de 10 à 20--- oui
et donc positif puis négatif sur les mêmes intervalles
tu expliques ce qui est en rouge ?
2b) pas besoin de delta pour résoudre ça
une simple factorisation suffit
4) il suffit d'utiliser les résultats de la 2b)
que l'inconnue soit x ou L ne change rien 
2b) la fonction f est définie sur [0;20]
les crochets tournés vers l'intérieur indiquent que les bornes vont partie du domaine de définition
donc 0 peut être solution de f(x)=x
Bonsoir,
1) Ok.
2a) La dérivée est OK.
On obtient un tableau de variation avec croissante de 0 à 10 et décroissante de 10 à 20 et donc positif puis négatif sur les mêmes intervalles
Ta phrase est mal formulée...
C'est le signe de f' qui est positif sur 0 à 10 ce qui entraîne que la fonction f est croissante sur le même intervalle, pas l'inverse... même discours sur l'intervalle 10 à 20.
2b) Au lieu de t'embêter à calculer le discriminant Delta, il y avait beaucoup plus simple...
Factoriser par x !! Et tu avais instantanément tes 2 racines...
Pour les solutions, tu ne précises pas l'intervalle où tu dois résoudre ton équation... Si c'est l'intervalle [0;20], dans ce cas tes 2 solutions marchent puisqu'ils sont compris dans cet intervalle.
4) Ok. (même si, comme pour la question 2b, tu aurais pu te dispenser de calculer Delta...)
La dérivée est postifive puis négative (je ferai le tableau)
Pour la 2)b)
Je préfère laisser avec delta si ça ne vous dérange pas mais j'aimerai savoir comment vous faire en factorisant pour trouver x1 et x2
Et donc comment je l'écris ? S={0;10} ?
Et donc pour la 4) la limite est 0 ou 10 puisque les 2 sont dans [0;10] (d'après la récurrence, Un est borné par 0 et 10)
2b) ça ne me dérange pas que tu calcules les discriminant (quoique...)
mais cela peut déranger ton professeur de voir que tu sors l'artillerie lourde pour résoudre une équation niveau 3ème. ^^
-0,1x²+x=0
x (.... + ... ) =0
puis équation produit nul
S={0;10} oui
4) la suite est croissante, donc...
Pour revenir au 2b) tu as :
-0.1x²+x = 0 et si on factorise par x, on a alors :
x ( -0.1x + 1) = 0.
C'est une équation produit nul, tu as ainsi tes 2 solutions directement !!
x = 0 ou bien -0.1x + 1 = 0 soit encore x = 10.
Puisque tes 2 solutions sont compris entre 0 et 20, tes 2 solutions sont à prendre en compte !! Donc S={0;10} oui.
4) Rappel : La limite d'une suite convergente est unique.
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