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limite suite tle

Posté par
Jesuisunange 31-10-16 à 12:16

Bonjour!
Petit problème pour mon dm de maths, il faut que je donne la limite de
((-1)^n X sin(n) ) / (n-2)
Je sais qu'il faut utiliser le théorème des gendarmes car (-1)^n est compris entre -1 et 1 et de même pour sin(n)
mais ensuite si on multiplie je trouve que la fonction entière est comprise entre 1/(n-2) et 1/(n-2) mais c'est le même nombre ça n'est pas possible...
je suis bloquée...
Merci d'avance pour votre aide..

Posté par
gerrebare : limite suite tle 31-10-16 à 13:07

Bonjour  :     -1<=(-1)^n<=1     donc  |(-1)^n|<=1     de mème   |sinn|<=1    soit
|(-1)^n*sin n|<=1       c'est à dire :      -1<=(-1)^n*sin n<=1 et finalement
(-1)/(n-2)<= Un<=1/(n-2)     A toi de conclure...

Posté par
Jesuisunangere : limite suite tle 31-10-16 à 23:46

Merci beaucoup!
Mais je ne comprends pas pourquoi il faut utiliser le module... Pourriez-vous m'expliquer? Je ne tiens pas à recopier quelque chose que je ne comprends pas..

Posté par
SkyMtnre : limite suite tle 01-11-16 à 00:21

En prenant la valeur absolue, on peut déterminer un majorant de la suite, car a priori, si une suite est majorée en valeur absolue, elle est bornée : \vert u_n\vert \leq M \Leftrightarrow -M \leq u_n \leq M
Sinon il y a une propriété plutôt sympathique : on a équivalence entre u_n \longrightarrow \ell et \vert u_n - \ell\vert \longrightarrow 0.
(elle se démontre aisément avec la définition formelle de la limite).
Donc on peut soit deviner la limite ou simplement tester, voir si ça tend vers 0...
Ici pour n assez grand, disons supérieur à 3 : \left\vert \dfrac{(-1)^n\sin n}{n-2}\right\vert = \dfrac{\vert (-1)^n\vert\vert\sin n\vert}{n-2} \leq \dfrac{1}{n-2} \longrightarrow 0, donc la limite est 0 car \left\vert \dfrac{(-1)^n\sin n}{n-2}\right\vert = \left\vert \dfrac{(-1)^n\sin n}{n-2} -0\right\vert.
L'idée est de majorer par quelque chose de positif et qui tend vers 0.


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