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Limites

Posté par
Samsco 02-09-20 à 15:34

Bonsoir j'ai besoin de votre aide svp

Exercice :

Calculer les limites suivantes quand elles existent.

1-\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}(\tan x-1)\left(1-\tan(\frac{x}{2})\right) \\ \\ 2-\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\dfrac{1-\sin x+\cos²x}{\sin x+\cos²x-1} \\ \\ 3-\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\left(\cos(\frac{x}{2})-\sin(\frac{x}{2})\right)\tan x \\ \\ 4- \lim_{x \to 0}\left(\dfrac{1}{2(1-\cos x)}-\dfrac{1}{\sin²x}\right) \\ \\ 5-\lim_{x \to a}(a²-x²)\tan(\dfrac{\pi x}{2a})

Reponses:

1- (tanx-1)(1-tan(x/2)) existe ssi x≠π/2+kπ et x≠π/4+kπ/2.
Je ne vois pas comment calculer cette limite.

Posté par
lakere : Limites 02-09-20 à 16:07

Bonjour,

1) Tu peux utiliser \tan\,x=\dfrac{2\,\tan\dfrac{x}{2}}{1-\tan^2\dfrac{x}{2}}

Posté par
Samscore : Limites 02-09-20 à 19:30

Ok

1-

\forall x \neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi~et~x\neq \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}, \\ (\tan x-1)\left(1-\tan\dfrac{x}{2}\right)=\left(\dfrac{2\,\tan\dfrac{x}{2}}{1-\tan^2\dfrac{x}{2}}-1\right)\left(1-\tan\dfrac{x}{2}\right) \\ \\ (\tan x-1)\left(1-\tan\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{2\tan\dfrac{x}{2}}{1-\tan\dfrac{x}{2}}+\tan\dfrac{x}{2}-1

Je dois étudier le signe de tan(x/2) non?

Posté par
Samscore : Limites 02-09-20 à 19:32

Plutôt celui de 1-tan(x/2)

Posté par
Pirhore : Limites 02-09-20 à 20:00

Bonsoir,

en attendant le retour de lake

le passage de la 2e ligne à la 3e ligne est faux

réduis d'abord au même dénominateur dans la 1ère parenthèse

Posté par
Samscore : Limites 02-09-20 à 21:05

Maintenant , je trouve :



\forall x \neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi~et~x\neq \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}, \\ (\tan x-1)\left(1-\tan\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{-\tan^3\dfrac{x}{2}-\tan^2\dfrac{x}{2}+\tan\dfrac{x}{2}-1}{1-\tan^2\dfrac{x}{2}}

Je dois étudier le signe de tan(x/2) non?
[/tex]

Posté par
Pirhore : Limites 02-09-20 à 21:08

Citation :
réduis d'abord au même dénominateur dans la 1ère parenthèse
  ne distribue pas et regarde bien !

Posté par
Samscore : Limites 02-09-20 à 21:12

Ok!

\forall x \neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi~et~x\neq \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}, \\ (\tan x-1)\left(1-\tan\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{\tan²\dfrac{x}{2}+2\tan\dfrac{x}{2}-1}{1-\tan\dfrac{x}{2}}

Posté par
Pirhore : Limites 02-09-20 à 21:13

ton dénominateur est faux

Posté par
Samscore : Limites 02-09-20 à 21:21

\forall x \neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi~et~x\neq \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}, \\ (\tan x-1)\left(1-\tan\dfrac{x}{2}\right)=\left(\dfrac{2\tan\dfrac{x}{2}+\tan²\dfrac{x}{2}-1}{1-\tan²\dfrac{x}{2}}\right) \\ \\ =\dfrac{\tan²\dfrac{x}{2}+2\tan\dfrac{x}{2}-1}{1-\tan\dfrac{x}{2}}

Posté par
Samscore : Limites 02-09-20 à 21:22

Samsco @ 02-09-2020 à 21:21

\forall x \neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi~et~x\neq \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}, \\ (\tan x-1)\left(1-\tan\dfrac{x}{2}\right)=\left(\dfrac{2\tan\dfrac{x}{2}+\tan²\dfrac{x}{2}-1}{1-\tan²\dfrac{x}{2}}\right){\bleu{(1-\tan\dfrac{x}{2}}} \\ \\ =\dfrac{\tan²\dfrac{x}{2}+2\tan\dfrac{x}{2}-1}{1-\tan\dfrac{x}{2}}

Posté par
Pirhore : Limites 02-09-20 à 21:24

toujours la même erreur!

\dfrac{1-x}{1-x^2}=?

Posté par
Samscore : Limites 02-09-20 à 21:31

Posons X=tan(x/2)

\forall x \neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi~et~x\neq \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}, \\ (\tan x-1)\left(1-\tan\dfrac{x}{2}\right)=(\dfrac{X²+2X-1}{1-X²})(1-X) \\ \\ =(\dfrac{X²+2X-1}{(1-X)(1+X)})(1-X) \\ \\   (\tan x-1)\left(1-\tan\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{X²+2X-1}{1+X}

Posté par
Pirhore : Limites 02-09-20 à 21:36

il ne faut pas faire faire apparaître un X je voulais juste te faire découvrir qu'il y avait un signe plus au dénominateur au lieu d'un signe moins

Posté par
Samscore : Limites 02-09-20 à 21:42

Ok

\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}(\tan x-1)\left(1-\tan\dfrac{x}{2}\right)=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\dfrac{\tan²\dfrac{x}{2}+2\tan\dfrac{x}{2}-1}{1+\tan\dfrac{x}{2}}=1

Posté par
Pirhore : Limites 02-09-20 à 21:43

oui

Posté par
Samscore : Limites 02-09-20 à 21:45

Moi je croyais qu'on ne pouvais pas trouver un nombre réel car cette  ok ion n'est pas définie en π/2

Posté par
lakere : Limites 02-09-20 à 23:26

Bonsoir Samsco,

Quand on te demande la limite d'une expression fonction de x lorsque x\longrightarrow a, l'expression en question n'est pas forcément définie en a.

Posté par
Samscore : Limites 03-09-20 à 10:11

Oui oui  je pensais que dans cas là , on trouvais toujours des limites infinies .

2- l'expression existe ssi:
sinx+cos²x-1≠0
=> -(-sinx+1-cos²x)≠0
=> sin²x-sinx≠0
=> sinx(sinx-1)≠0
=> x≠π+k2π et x≠0+k2π et x≠π/2+k2π.

Comment je peux transformer l'expression ?

Posté par
Pirhore : Limites 03-09-20 à 10:21

remplace cos^2(x)

Posté par
flightre : Limites 03-09-20 à 11:37

Pour la, 1) je suggère une petite transformation en écrivant
(tgx- tg(/4) /(x-/4)*(x-/4)*(1-tg(x/2))

Posté par
flightre : Limites 03-09-20 à 11:38

La première fraction représente tg'(/4) quand X tend vers /4

Posté par
Samscore : Limites 03-09-20 à 14:41

\dfrac{1-\sin x+\cos²x}{\sin x+\cos²x-1}=\dfrac{2-\sin x-\sin²x}{\sin x-\sin²x} \\ \\ =\dfrac{(1-\sin x)(\sin x+2)}{\sin x(1-\sin x)} \\ \\ \dfrac{1-\sin x+\cos²x}{\sin x+\cos²x-1}=\dfrac{\sin x+2}{\sin x} \\ \\ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\dfrac{1-\sin x+\cos²x}{\sin x+\cos²x-1}=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin x+2}{\sin x}=3

Posté par
Pirhore : Limites 03-09-20 à 14:46

oui

3) transforme tan(x)

Posté par
Samscore : Limites 03-09-20 à 14:48

flight @ 03-09-2020 à 11:38

La première fraction représente tg'(/4) quand X tend vers /4


tan'(π/4)=1+tan²(π/4)=2

\lim_{x \to \pi/2}(x-\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\pi}{4} \\ \\ \lim_{x \to \pi/2}(1-\tan \dfrac{x}{2})=0

On obtient alors 0 comme résultat final

Posté par
Samscore : Limites 03-09-20 à 14:54

\left(\cos \dfrac{x}{2}-\sin \dfrac{x}{2}\right)\tan x=\dfrac{2\tan \dfrac{x}{2}\left(\cos\dfrac{x}{2}-\sin \dfrac{x}{2}\right)}{1-\tan²\dfrac{x}{2}}

Est ce que je transforme tan(x/2) en [sin(x/2)]/[cos(x/2)] pour tout x≠-π/2+k2π et x≠π/2+k2π

Posté par
Pirhore : Limites 03-09-20 à 14:59

à ton avis ?

Posté par
Samscore : Limites 03-09-20 à 15:08

Samsco @ 03-09-2020 à 14:54

\left(\cos \dfrac{x}{2}-\sin \dfrac{x}{2}\right)\tan x=\dfrac{2\tan \dfrac{x}{2}\left(\cos\dfrac{x}{2}-\sin \dfrac{x}{2}\right)}{1-\tan²\dfrac{x}{2}} \\ \\ {\blue{=\dfrac{2\sin \dfrac{x}{2}\left(\cos \dfrac{x}{2}-\sin \dfrac{x}{2}\right)}{\cos \dfrac{x}{2}\times\left(\frac{\cos \dfrac{x}{2}-\sin \dfrac{x}{2}}{\cos \dfrac{x}{2}}\right)(1+\tan \dfrac{x}{2})} \\ \\ {\blue{=\dfrac{2\sin \dfrac{x}{2}}{1+\tan\dfrac{x}{2}}}}}

Posté par
Samscore : Limites 03-09-20 à 15:12

\lim_{x \to \pi/2}\left(\cos \dfrac{x}{2}-\sin \dfrac{x}{2}\right)\tan x=\lim_{x \to \pi/2}\dfrac{2\sin \dfrac{x}{2}}{1+\tan \dfrac{x}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Posté par
Priamre : Limites 03-09-20 à 15:51

Bonjour,
Ton expression en bleu est incorrecte.

Posté par
Samscore : Limites 03-09-20 à 15:59

Je ne vois pas ma faute !

Posté par
Priamre : Limites 03-09-20 à 16:46

Comment fais-tu pour trouver  cos(x/2) - sin(x/2)  au dénominateur ?

Posté par
lakere : Limites 03-09-20 à 17:01

Bonjour,

En tout cas, ceci :

Citation :
  \lim_{x \to \pi/2}\left(\cos \dfrac{x}{2}-\sin \dfrac{x}{2}\right)\tan x=\lim_{x \to \pi/2}\dfrac{2\sin \dfrac{x}{2}}{1+\tan \dfrac{x}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}


est correct.

Posté par
Samscore : Limites 03-09-20 à 18:42

1-\tan²X=(1-\tan X)(1+\tan X) \\ \\ =(1-\dfrac{\sin X}{\cos X})(1+\tan X) \\ \\ =\left(\dfrac{\cos X-\sin X}{\cos X}\right)(1+\tan X)

X=x/2

Posté par
Samscore : Limites 03-09-20 à 23:04

Alors , quelle faute ai-je commis ?

Posté par
Samscore : Limites 03-09-20 à 23:24

4- Cette expression existe ssi :
x≠0+k2π et x≠π+k2π

\forall x\neq 0+k2\pi~et~x\neq \pi+k2\pi, \\ \\ \dfrac{1}{2(1-\cos x)}-\dfrac{1}{\sin²x}=\dfrac{1+\cos x}{2(1-\cos²x)}-\dfrac{2}{2\sin²x} \\ \\ =\dfrac{\cos x-1}{2\sin²x} \\ \\ =\dfrac{-2\sin²\dfrac{x}{2}}{2(2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2})²} \\ \\ \dfrac{1}{2(1-\cos x)}-\dfrac{1}{\sin²x}=-\dfrac{1}{4\cos²\dfrac{x}{2}} \\ \\ \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{2(1-\cos x)}-\dfrac{1}{\sin²x}=\lim_{x \to 0}-\dfrac{1}{4\cos²\dfrac{x}{2}}=-\dfrac{1}{4}

Posté par
lakere : Limites 03-09-20 à 23:44

Bonsoir,

3) Je n'ai pas vu d'erreur.

4) Très juste!

Posté par
Samscore : Limites 04-09-20 à 08:03

Pour la dernière, comment transformer l'expression ?

Posté par
Priamre : Limites 04-09-20 à 10:48

Bonjour,
Je te suggère de remplacer  tan  par  sin/cos  et de transformer ce cosinus en sinus.

Posté par
Samscore : Limites 04-09-20 à 14:02

(a²-x²)\tan(\dfrac{\pi x}{2a})=(a²-x²)*\dfrac{\sin(\dfrac{\pi x}{2a})}{\cos(\dfrac{\pi x}{2a})} \\ \\ =(a²-x²)*\dfrac{\sin(\dfrac{\pi x}{2a})}{\sin(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi x}{2a})} \\ \\ =(a²-x²)*\dfrac{\sin(\dfrac{\pi x}{2a})}{\sin(\dfrac{\pi}{2}(1-\dfrac{x}{a}))} \\ \\ (a²-x²)\tan(\dfrac{\pi x}{2a})=(a²-x²)*\dfrac{\sin(\dfrac{\pi x}{2a})}{\sin(\dfrac{\pi}{2a}(a-x))}

Posté par
Samscore : Limites 04-09-20 à 14:06

Tout ça n'est valable que pour tout :
x≠2ak+a et a≠0

Posté par
Priamre : Limites 04-09-20 à 14:09

Essaie maintenant de faire apparaître, dans cette dernière expression, une expression du type  sin u /u .

Posté par
Samscore : Limites 04-09-20 à 14:22

Samsco @ 04-09-2020 à 14:02

(a²-x²)\tan(\dfrac{\pi x}{2a})=(a²-x²)*\dfrac{\sin(\dfrac{\pi x}{2a})}{\cos(\dfrac{\pi x}{2a})} \\ \\ =(a²-x²)*\dfrac{\sin(\dfrac{\pi x}{2a})}{\sin(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi x}{2a})} \\ \\ =(a²-x²)*\dfrac{\sin(\dfrac{\pi x}{2a})}{\sin(\dfrac{\pi}{2}(1-\dfrac{x}{a}))} \\ \\ =(a²-x²)*\dfrac{\sin(\dfrac{\pi x}{2a})}{\sin(\dfrac{\pi}{2a}(a-x))} \\ \\ {\blue{(a²-x²)\tan(\dfrac{\pi x}{2a})=\dfrac{\dfrac{\pi}{2a}(a-x)}{\sin(\dfrac{\pi}{2a}(a-x))}*\dfrac{(a+x)\sin(\dfrac{\pi x}{2a})}{\dfrac{\pi}{2a}}}}

Posté par
Priamre : Limites 04-09-20 à 15:10

Arrivé là, tu peux donner la valeur de la limite demandée.

Posté par
Samscore : Limites 04-09-20 à 15:49

Ouais mais faut-obligatoirement procéder à un changement de variable ?

Sinon ça comme résultat 4a²/π

Posté par
Priamre : Limites 04-09-20 à 16:04

4a²/ : c'est juste.

Posté par
Samscore : Limites 04-09-20 à 16:06

D'accord merci ! .

Bonne journée .

Posté par
Priamre : Limites 04-09-20 à 16:08


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