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Niveau terminale
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Limites

Posté par
Daday156 21-10-20 à 00:52

Bonjour
SVP comment puis-je calculer cette limite j'ai tout essayé mais en vain..
{\lim_{x\rightarrow 0}}{}\frac{sinx-x}{tanx-x}

Posté par
alb12re : Limites 21-10-20 à 09:20

salut
explique ce que tu as essaye

Posté par
LeHiboure : Limites 21-10-20 à 10:18

Bonjour,

As-tu étudié ce qu'on appelle les "développements limités" ?

Posté par
Daday156re : Limites 21-10-20 à 10:38

LeHibou @ 21-10-2020 à 10:18

Bonjour,

As-tu étudié ce qu'on appelle les "développements limités" ?

Non jamais

Posté par
Daday156re : Limites 21-10-20 à 10:43

alb12 @ 21-10-2020 à 09:20

salut
explique ce que tu as essaye

La factorisation et Les formules trigonométriques pour changer la forme de la limite.

Posté par
Pirhore : Limites 21-10-20 à 10:45

Bonjour,

as-tu étudié la règle de l'Hospital?

Posté par
Daday156re : Limites 21-10-20 à 14:26

Pirho @ 21-10-2020 à 10:45

Bonjour,

as-tu étudié la règle de l'Hospital?

Non pas encore. Est-ce qu'il n'y a pas une méthode simple pour la calculer?

Posté par
alb12re : Limites 21-10-20 à 14:36

Qui t'a propose cet exercice ?

Posté par
Daday156re : Limites 21-10-20 à 15:02

alb12 @ 21-10-2020 à 14:36

Qui t'a propose cet exercice ?

Mon ami

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limites 21-10-20 à 17:16

Bonjour,
Drôle d'ami

Posté par
alb12re : Limites 21-10-20 à 17:49

cet ami est-il au lycee ?

Posté par
Daday156re : Limites 21-10-20 à 19:56

alb12 @ 21-10-2020 à 17:49

cet ami est-il au lycee ?

Oui

Posté par
carpediemre : Limites 21-10-20 à 20:12

salut

nul besoin de quoi que ce soit ... en particulier en terminale ... et même dans le supérieur ...

posons f(x) = \sin x - x $ et $ g(x) = \tan x - x

alors \dfrac {\sin x - x} {\tan x - x} = \dfrac {f(x) - f(0)} {x - 0}\times \dfrac {x - 0} {g(x) - g(0)}

un retour en première nous permet de reconnaitre ... ?

Posté par
alb12re : Limites 21-10-20 à 20:28

ce qui ne nous avance guere

Posté par
carpediemre : Limites 21-10-20 à 20:50

alors on recommence :

posons h(x) = \dfrac {f(x) - f(0)} {x - 0} - f'(0) $ et $ k(x) = \dfrac {g(x) - g(0)} {x - 0} - g'(0)

alors \dfrac {f(x)} {g(x)} = \dfrac {h(x) -h(0)} {x - 0} \dfrac {x - 0} {k(x) - k(0)}



attention : cette écriture est purement formelle ...

Posté par
alb12re : Limites 21-10-20 à 21:10

je ne comprends pas, que vaut h(0) ?

Posté par
alb12re : Limites 21-10-20 à 21:51

Nous les profs on sait le faire avec les developpements limites
L'idee est donc de garder leur esprit
Je propose donc de montrer que pour tout x entre 0 et 1, on a:
0<=sin(x)-x+x^3/6<=x^4

Posté par
Daday156re : Limites 21-10-20 à 22:21

carpediem @ 21-10-2020 à 20:50

alors on recommence :

posons h(x) = \dfrac {f(x) - f(0)} {x - 0} - f'(0) $ et $ k(x) = \dfrac {g(x) - g(0)} {x - 0} - g'(0)

alors \dfrac {f(x)} {g(x)} = \dfrac {h(x) -h(0)} {x - 0} \dfrac {x - 0} {k(x) - k(0)}



attention : cette écriture est purement formelle ...

c'est super👍

Posté par
carpediemre : Limites 21-10-20 à 22:27

je te remercie ... mais cette écriture formelle n'a aucun sens

Posté par
Foxdevilre : Limites 24-10-20 à 01:05

Bonsoir à tous,

Je crains que l'on ne soit obligé de "tricher". On va se servir de l'idée du DL mais version TS.

On commence par montrer (par étude de fonction) que pour tout x positif, on a:
\frac{-x^3}{6} +x \le \sin x \le x - \frac{x^3}{6} + \frac{-x^5}{120}.

(On a l'inégalité dans l'autre sens pour les x négatifs).

On montre ensuite (toujours par étude de fonction) que pour tout x, on a:
1 - \frac{x^2}{2} \le \cos x \le 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}  

D'où l'inégalité (je ne traite que le cas positif):
\frac{-1}{6} \le \frac{\sin x -x}{x^3} \le \frac{-1}{6} + \frac{x^2}{120}.

On en déduit que la limite du milieu (avec x positif) est -1/6. En utilisant les deux premières inégalités, on a ensuite l'encadrement:

\frac{\frac{-x^3}{6} +x}{1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}} \le \tan(x) = \frac{\sin x}{\cos x} \le \frac{x - \frac{x^3}{6} + \frac{-x^5}{120}}{1 - \frac{x^2}{2}}

D'où l'inégalité:

\frac{\frac{1}{3} + \frac{- x^2}{24}}{1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}} \le \frac{\tan(x) - x}{x^3}  \le \frac{ \frac{1}{3} + \frac{-x^2}{120}}{1 - \frac{x^2}{2}}

D'où le milieu tend vers 1/3. Ainsi la limite voulue est -1/2. Pareil pour les x négatifs...

(il y a peut être moins long, je vais voir...)

Posté par
carpediemre : Limites 24-10-20 à 09:14

en terminale je ne vois as comment on peut faire autrement ...

les fonctions tan et sin sont impaires et ont même premier terme donc on est obligé d'aller au moins à  l'ordre 4 de leur dl : soit on connait soit on est obligé d'utiliser un artifice pour obtenir le résultat

Posté par
alb12re : Limites 24-10-20 à 12:26

@Daday156
Qu'en pense ton ami ?

Posté par
alb12re : Limites 24-10-20 à 13:58

je propose ceci mais je n'ai pas le temps de verifier

je travaille sur ]0;1] car la fonction x->(sin(x)-x)/(tan(x)-x) est paire
(sin(x)-x)/(tan(x)-x)=(sin(x)-x)/x^3*1/((sin(x)-x*cos(x))/x^3)*cos(x)

lemme1  0<=sin(x)-x+x^3/6<=x^4
lemme2  -x^4<=sin(x)-x*cos(x)-x^3/3<=0

Posté par
alb12re : Limites 24-10-20 à 19:37

verification effectuee mais l'erreur est humaine

Posté par
Daday156re : Limites 24-10-20 à 23:02

Foxdevil @ 24-10-2020 à 01:05

Bonsoir à tous,

Je crains que l'on ne soit obligé de "tricher". On va se servir de l'idée du DL mais version TS.

On commence par montrer (par étude de fonction) que pour tout x positif, on a:
\frac{-x^3}{6} +x \le \sin x \le x - \frac{x^3}{6} + \frac{-x^5}{120}.

(On a l'inégalité dans l'autre sens pour les x négatifs).

On montre ensuite (toujours par étude de fonction) que pour tout x, on a:
1 - \frac{x^2}{2} \le \cos x \le 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}  

D'où l'inégalité (je ne traite que le cas positif):
\frac{-1}{6} \le \frac{\sin x -x}{x^3} \le \frac{-1}{6} + \frac{x^2}{120}.

On en déduit que la limite du milieu (avec x positif) est -1/6. En utilisant les deux premières inégalités, on a ensuite l'encadrement:

\frac{\frac{-x^3}{6} +x}{1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}} \le \tan(x) = \frac{\sin x}{\cos x} \le \frac{x - \frac{x^3}{6} + \frac{-x^5}{120}}{1 - \frac{x^2}{2}}

D'où l'inégalité:

\frac{\frac{1}{3} + \frac{- x^2}{24}}{1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}} \le \frac{\tan(x) - x}{x^3}  \le \frac{ \frac{1}{3} + \frac{-x^2}{120}}{1 - \frac{x^2}{2}}

D'où le milieu tend vers 1/3. Ainsi la limite voulue est -1/2. Pareil pour les x négatifs...

(il y a peut être moins long, je vais voir...)
Foxdevil @ 24-10-2020 à 01:05

Bonsoir à tous,

Je crains que l'on ne soit obligé de "tricher". On va se servir de l'idée du DL mais version TS.

On commence par montrer (par étude de fonction) que pour tout x positif, on a:
\frac{-x^3}{6} +x \le \sin x \le x - \frac{x^3}{6} + \frac{-x^5}{120}.

(On a l'inégalité dans l'autre sens pour les x négatifs).

On montre ensuite (toujours par étude de fonction) que pour tout x, on a:
1 - \frac{x^2}{2} \le \cos x \le 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}  

D'où l'inégalité (je ne traite que le cas positif):
\frac{-1}{6} \le \frac{\sin x -x}{x^3} \le \frac{-1}{6} + \frac{x^2}{120}.

On en déduit que la limite du milieu (avec x positif) est -1/6. En utilisant les deux premières inégalités, on a ensuite l'encadrement:

\frac{\frac{-x^3}{6} +x}{1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}} \le \tan(x) = \frac{\sin x}{\cos x} \le \frac{x - \frac{x^3}{6} + \frac{-x^5}{120}}{1 - \frac{x^2}{2}}

D'où l'inégalité:

\frac{\frac{1}{3} + \frac{- x^2}{24}}{1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}} \le \frac{\tan(x) - x}{x^3}  \le \frac{ \frac{1}{3} + \frac{-x^2}{120}}{1 - \frac{x^2}{2}}

D'où le milieu tend vers 1/3. Ainsi la limite voulue est -1/2. Pareil pour les x négatifs...

(il y a peut être moins long, je vais voir...)

Je pense que l'idée est claire..
Mais juste un petit détail concernant le niveau de l'exercice : je ne suis pas de la France c'est pourquoi je ne sais pas à quelle année de lycée il appartient.
Merci bien pour votre aide.

Posté par
Foxdevilre : Limites 24-10-20 à 23:35

Oui c'est effectivement ce que je me suis dit.

Parce que j'ai pas tout détaillé, mais si on devait le faire, ça ferait un bon (et costaud) devoir maison de terminale...

Posté par
Foxdevilre : Limites 27-10-20 à 20:30

Hello à tous,

Désolé je déterre car j'ai vu une vidéo qui présente un astuce sympa pour obtenir \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}. L'astuce permet d'obtenir la limite de ce topic...

L'astuce présuppose que la limite plus haut existe. Donc en premier lieu, il faudrait le démontrer. On pourrait utiliser le théorème de la limite monotone. On s'en sort pas trop mal pour la croissance/décroissance (bon en enchainant quand même 5/6 dérivées successives ). Mais pour prouver que c'est majoré, je n'ai pas d'idée autre que l'inégalité du post plus haut. Bon, soit. Admettons. L'inégalité est assez artificielle, mais acceptons-le. Comment s'y prend-on alors?

On a L = \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{3x - \sin 3x}{(3x)^3} = \lim_{x \to 0} (\frac{ x - \sin x}{9 x^3} + \frac{4}{27} \times \frac{\sin^3 x}{x^3}) = \frac{1}{9} L + \frac{4}{27} .
D'où L = \frac{1}{6}.

De même, on a L' =  \lim_{x \to 0} \frac{ \tan x - x}{x^3} =  \lim_{x \to 0} \frac{ \tan 2x - 2x }{(2x)^3} = \lim_{x \to 0} ( \frac{ \tan x - x}{4x^3} + \frac{ \tan^2 x}{4x^2}) = \frac{1}{4} L' + \frac{1}{4} . D'où L' = \frac{1}{3}. Ce qui nous fournit la limite plus haut.

Posté par
Foxdevilre : Limites 27-10-20 à 20:59

On est pas obligé d'avoir exactement les inégalité du haut pour le caractère borné des deux fonctions.

L'étude de x \mapsto x^3 - \sin x + x et x \mapsto x^3 - \tan x +x dans un "petit" voisinage de 0 suffit...

Posté par
alb12re : Limites 28-10-20 à 11:17

"L'astuce présuppose que la limite plus haut existe"
cette methode est donc sans interet
L'etude des fonctions est longue mais tres facile à mettre en oeuvre

Posté par
LeHiboure : Limites 28-10-20 à 11:23

Tout ça c'est bien intéressant, mais j'ai l'impression qu'on se fait plaisir et qu'on s'égare un peu, là on est niveau Terminale, a-t-on une solution compatible avec ce niveau ?

Posté par
alb12re : Limites 28-10-20 à 11:31

celle que j'ai donnee est elementaire et classique en terminale
il faut juste un peu de temps pour la rediger, les variations des fonctions qui entrent en jeu sont simples (derivees successives)

Posté par
Foxdevilre : Limites 28-10-20 à 11:42

LeHibou @ 28-10-2020 à 11:23

Tout ça c'est bien intéressant, mais j'ai l'impression qu'on se fait plaisir et qu'on s'égare un peu, là on est niveau Terminale, a-t-on une solution compatible avec ce niveau ?
Les solutions proposées sont tout à fait compatibles avec le niveau terminale

alb12 @ 28-10-2020 à 11:17

"L'astuce présuppose que la limite plus haut existe"
cette methode est donc sans interet
L'etude des fonctions est longue mais tres facile à mettre en oeuvre
Ce que je voulais dire c'est que l'astuce part de ce point. Mais comme précisé après, le point se démontre avec la limite monotone. Donc la méthode est parfaitement valide

On peut à la rigueur reprocher que la limite monotone version fonction n'est pas tout à fait niveau terminale...mais l'énoncé est parfaitement compréhensible à ce niveau

Posté par
alb12re : Limites 28-10-20 à 11:53

pour moi aligner des calculs incluant plusieurs fois le symbole lim est à bannir.
En general les eleves ecrivent n'importe quoi avec ce type de redaction

Posté par
Foxdevilre : Limites 28-10-20 à 11:57

C'est plus une question pédagogique et que mathématique alors.

Tout ce que j'ai dit peut évidemment se réécrire de la " bonne façon "

Posté par
alb12re : Limites 28-10-20 à 12:05

Daday156 @ 21-10-2020 à 15:02

alb12 @ 21-10-2020 à 14:36

Qui t'a propose cet exercice ?

Mon ami

on aimerait savoir comment ton ami resout cet exercice

Posté par
carpediemre : Limites 28-10-20 à 12:23

alb12 @ 28-10-2020 à 11:53

pour moi aligner des calculs incluant plusieurs fois le symbole lim est à bannir.
En general les eleves ecrivent n'importe quoi avec ce type de redaction
je suis bien d'accord sur ce principe ... mais ici il y a deux égalités :

autant on ne peut rien dire sur la première égalité qui dit simplement que les expressions X et Y ont même limite (un simple changement de variable voir plus bas) et ce quelle que soit cette limite autant on doit détailler la deuxième (pour être rigoureux au niveau lycée) :

a/ on transforme une expression algébrique qui devient une somme
b/ on doit donc calculer la limite de chaque terme et conclure par somme
c/ enfin on peut alors écrire cette deuxième égalité (et toujours quelle que soit cette limite (finie ou infinie))

mais de toute façon cet exo n'est clairement pas de niveau terminale actuellement ... sans un GPS qui donne une foultitude de consignes comme il a été dit plus haut : démontrer un encadrement par l'étude de plusieurs fonctions avec leur dérivée

cet encadrement provenant évidemment de la connaissance des dl et donc pondu "magiquement" dans l'énoncé

peu d'intérêt en terminale quand on connait leur difficulté ... intéressant en prépa car "bourrin" car répétitif donc un bon entrainement ...

il me semble cependant que ce qui est intéressant du point de vu intellectuel est de proposer une solution "quasiment" de niveau terminale

et il n'est même pas besoin de supposer ou non l'existence de la limite finie ... si le raisonnement est "parfaitement" rédigé

plus bas : le principe est le même qu'avec les suites : l'égalité \lim u_n = \lim u_{n + 1} est tout à fait valide que la limite soit finie ou infinie)

on peut éventuellement me rétorquer : mais pourquoi ne serait pas une situation du type u_n = (-1)^n (plusieurs valeurs d'adhérence ... ou pire )
mais je pense que la continuité des fonctions apparaissant au numérateur et dénominateur doit permettre de lever cette objection

je remercie en tout cas Foxdevil de nous présenter cette solution ...

le principe est un classique que l'on retrouve avec des intégrales et des IPP où on retombe sur l'intégrale initiale ...et donc on obtient une équation d'inconnue cette intégrale ...
et la seule chose qu'on peut objecter sur cette méthode ... c'est qu'il faut en avoir l'idée

Posté par
LeHiboure : Limites 28-10-20 à 12:30

Citation :
mais de toute façon cet exo n'est clairement pas de niveau terminale actuellement ... sans un GPS qui donne une foultitude de consignes comme il a été dit plus haut : démontrer un encadrement par l'étude de plusieurs fonctions avec leur dérivée

cet encadrement provenant évidemment de la connaissance des dl et donc pondu "magiquement" dans l'énoncé

C'est un peu ce que je voulais, sans doute maladroitement, pointer dans mon post de 11h23...

Posté par
carpediemre : Limites 28-10-20 à 12:37

c'est un peu à toi que je répondais en même temps avec cette affirmation

Posté par
alb12re : Limites 28-10-20 à 12:38

si L existe alors L=1/6
Que prouve-t-on en demontrant cette proposition ?
on echappe pas à la demo de l'existence

Posté par
LeHiboure : Limites 28-10-20 à 12:43

Citation :
c'est un peu à toi que je répondais en même temps avec cette affirmation

J'avais bien senti quelque chose comme ça

Posté par
carpediemre : Limites 28-10-20 à 12:44

en fait tu as raison : on ne peut écrire l'égalité L = L/9 + 4/27 que si on présuppose que L est finie ...

pardon

Posté par
Foxdevilre : Limites 28-10-20 à 12:50

Citation :
il me semble cependant que ce qui est intéressant du point de vu intellectuel est de proposer une solution "quasiment" de niveau terminale


Citation :
et la seule chose qu'on peut objecter sur cette méthode ... c'est qu'il faut en avoir l'idée

Parfaitement d'accord carpi

Par contre, pour la limite (éventuellement infinie) je rejoins alb12...je ne vois pas tellement comment se débarrasser (proprement) de ce soucis (Autrement que Gendarmes ou Lim monotone)

Posté par
Foxdevilre : Limites 28-10-20 à 12:51

carpediem @ 28-10-2020 à 12:44

en fait tu as raison : on ne peut écrire l'égalité L = L/9 + 4/27 que si on présuppose que L est finie ...

pardon
Dac

Posté par
carpediemre : Limites 28-10-20 à 12:56

en fait à nouveau tout est un pb de rédaction : on peut écrire lim truc = lim chose

mais si lim truc = a et lim chose = b on ne peut écrire a = b que si a et b sont finis

(un exemple classique est x et ex)

Posté par
Foxdevilre : Limites 28-10-20 à 13:02

carpediem @ 28-10-2020 à 12:56

en fait à nouveau tout est un pb de rédaction : on peut écrire lim truc = lim chose
Il me semble justement que ceci ne peut être dit que si on sait préalablement qu'on a une limite (finie ou infinie)...

Sinon on peut écrire des trucs genre " \lim_{+ \infty} \sin x = \lim_{+ \infty} \cos x "

Posté par
alb12re : Limites 28-10-20 à 13:49

reponse à un eleve qui abuse des "lim" dans une redaction:
supposons que 1/x ait pour limite L en 0
on a 1/x=(1/x)^2*x donc L=L^2*0=0
donc 1/x apour limite 0

contrairement à d'autres sur ce fil je trouve plutot interessant de faire un devoir qui initie sans le dire aux developpements limites

je laisse le dernier mot à un de mes maîtres:
l'analyse c'est majorer, minorer, encadrer

Posté par
carpediemre : Limites 28-10-20 à 13:50

oui : c'est ce que je disais dans mon plus bas : sauf pour ce "type de limite" : (plusieurs valeurs d'adhérence finie ou "infinie")

Posté par
Foxdevilre : Limites 28-10-20 à 14:18

Citation :
contrairement à d'autres sur ce fil je trouve plutot interessant de faire un devoir qui initie sans le dire aux developpements limites
Tout à fait d'accord ! Je vais d'ailleurs de ce pas me constituer un petit dm bien sympa pour le calcul de cette limite (niveau TS).
Mes remarques n'avaient pas pour but de juger de l'intérêt pédagogique d'une méthode DL semi-assumée...juste d'identifier clairement quelle réflexion un élève de T pourrait "raisonnablement" (oui je sais, c'est discutable; et ça l'est aussi un peu pour les autres méthodes) avoir de lui-même pour aboutir...

Posté par
alb12re : Limites 28-10-20 à 18:13

un eleve un peu chercheur peut
1/ conjecturer la limite de (sin(x)-x)/x^3
2/ chercher à majorer abs((sin(x)-x)/x^3+1/6) le plus simplement possible par ex par x
3/ verifier cette majoration avec une calculatrice ou un logiciel
4/ le demontrer


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