Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

Limites de fonctions composées

Posté par
Samsco
15-05-20 à 16:20

Bonjour j'ai besoin de votre aide svp

Exercice :

Utiliser les fonctions composés pour calculer les limites suivantes.

a) \lim_{x \to 0}\dfrac{\sin(\tan x)}{\tan x}
 \\ 
 \\ b) \lim_{x \to \pi}\dfrac{\sin x}{\pi-x}
 \\ 
 \\ c) \lim_{x \to \frac \pi 3}\dfrac{\sin(x-\frac \pi 3)}{3x-\pi}
 \\ 
 \\ d) \lim_{ x \to \frac{\pi}{2}}\dfrac{1-\sin x}{x-\dfrac \pi 2}

Réponses:

a) Soit u(x)=\dfrac{\sin(\tan x)}{\tan x}

Soit f et g les fonctions définies par : f(x)=\tan x et g(x)=\dfrac{\sin x}{x}
On a: u=gof

Or \lim_{x \to 0}f(x)=\lim_{x \to 0}\tan x=0 et \lim_{y \to 0}g(y)=\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin y}{y}=1

donc \lim_{x \to 0}u(x)=\lim_{ x \to 0}g[f(x)]=1

b) Soit v(x)=\dfrac{\sin x}{\pi-x}
On a : sin(π-x)=sin(x)
donc u(x)=\dfrac{\sin(\pi-x)}{\pi-x}

Soit f et g les fonctions definies par: f(x)=\pi-x et g(x)=\dfrac{\sin x}{x}
On a u=gof

Or  \lim_{x \to \pi}f(x)=\lim_{x \to \pi}\pi-x=0 et \lim_{y \to 0}g(y)=\lim_{y \to 0}\dfrac{\sin y}{y}=1

donc \lim_{x \to \pi}u(x)=\lim_{x \to \pi}g[f(x)]=1

c) Soit h(x)=\dfrac{\sin(x-\frac \pi 3)}{3x-\pi}=\dfrac{1}{3}*\dfrac{\sin(x-\frac \pi 3)}{x- \frac \pi 3}

Soit f et g les fonctions définies par : f(x)=x-\dfrac \pi 3 et g(x)=\dfrac{ \sin x}{x}
On a : u=(1/3).gof

Or \lim_{x \to \frac \pi 3}f(x)=\lim_{x \to \frac \pi 3}x-\dfrac \pi 3=0 et \lim_{y \to 0}g(x)=\lim_{y \to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1

donc \lim_{x \to \frac \pi 3}u(x)=\lim_{x \to \frac \pi 3}(1/3).g[f(x)]=1/3

d)

Posté par
co11
re : Limites de fonctions composées 15-05-20 à 17:36

Bonjour,
ce que tu as fait me parait très bien puisqu'on t'impose des fonctions composées

Posté par
co11
re : Limites de fonctions composées 15-05-20 à 17:41

Pour d) tu souhaitais une indication ou tu poursuis seul pour le moment ?

Posté par
Samsco
re : Limites de fonctions composées 15-05-20 à 18:48


co11 @ 15-05-2020 à 17:41

Pour d) tu souhaitais une indication ou tu poursuis seul pour le moment ?


Je souhaite une indication

Posté par
pfff
re : Limites de fonctions composées 15-05-20 à 19:54

Bonsoir, comme co11 n'est pas connecté je vais t'aider

Pose X= x + /2  et souviens toi que sin( x + /2 ) = .....

Posté par
co11
re : Limites de fonctions composées 15-05-20 à 22:50

J'aurais dit : sinx  = cos (pi/2 -x)
Donc le numérateur est égal à : 1 - cos (pi/2 -x)

Posté par
Samsco
re : Limites de fonctions composées 16-05-20 à 13:53

pfff @ 15-05-2020 à 19:54

Bonsoir, comme co11 n'est pas connecté je vais t'aider

Pose X= x + /2  et souviens toi que sin( x + /2 ) = cos x


Ça donne
(1-sin x)/(x+π/2)
=[1-sin(X-π/2)]/X
=[1+cos(X)]/X

Posté par
Samsco
re : Limites de fonctions composées 16-05-20 à 13:58


Ça donne
(1-sin x)/(x-π/2)
=[1-sin(X-π/2)]/X
=[1+cos(X)]/X


Je ne vois pas les fonctions composés

Posté par
Samsco
re : Limites de fonctions composées 16-05-20 à 14:07

Samsco @ 16-05-2020 à 13:58


Ça donne
(1-sin x)/(x-π/2)
=[1-sin(X-π/2)]/X
=[1+cos(X)]/X


Je ne vois pas les fonctions composés


Non , puisque X=x+π/2
x=X-π/2
(1-sin x)/(x-π/2)=[1-sin(X-π/2)]/(x-π/2)
=[1+sin(π/2-X)]/(x-π/2)
=[1+cos X]/(X-π/2)

Posté par
Samsco
re : Limites de fonctions composées 16-05-20 à 14:22

co11 @ 15-05-2020 à 22:50

J'aurais dit : sinx  = cos (pi/2 -x)
Donc le numérateur est égal à : 1 - cos (pi/2 -x)


Donc :
(1-sin x)/(x-π/2)
=[1-cos(π/2-x)]/(x-π/2)
=[1-cos(x-π/2)]/(x-π/2)

Soit t(x)=\dfrac{1-\cos(x-\frac \pi 2)}{x-\frac \pi 2}

Soit f et g deux fonctions définies par : f(x)=x-\pi/2 et g(x)=(1-\cos x)/x
On a t=gof

Or \lim_{x \to \pi/2}f(x)=\lim_{x \to \pi/2}x-\pi/2=0 et \lim_{y \to 0}g(x)=\lim_{y \to 0}(1-\cos y)/y=0

donc \lim_{x \to \pi/2}t(x)=\lim_{ x \to \pi/2}g[f(x)]=0

Posté par
co11
re : Limites de fonctions composées 16-05-20 à 17:41

Pour moi, c'est bon.
Désolée, j'ai été absente un peu longtemps

Posté par
Samsco
re : Limites de fonctions composées 16-05-20 à 17:45

co11 @ 16-05-2020 à 17:41

Pour moi, c'est bon.
Désolée, j'ai été absente un peu longtemps

OK merci

Posté par
Samsco
re : Limites de fonctions composées 16-05-20 à 19:12

D'accord

d) f(x)=\dfrac{2x-1}{\sqrt{x²-1}}
 \\ D_f=]-\infty~;~-1[\cup]1~;~+\infty[
 \\ 
 \\ * \lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{x(2-\frac 1 x)}{x\sqrt{1-\frac{1}{x²}}} =2
 \\ 
 \\ \lim_{x \to -\infty}f(x)=\lim_{x \to -\infty}\dfrac{x(2-\frac 1 x)}{-x\sqrt{1-\frac{1}{x²}}}=-2

Les droites d'équations y=2 et y=-2 sont asymptotes à (C) respectivement en +\infty~et~en~-\infty

* \lim_{ x \to -1 \atop x<-1}f(x)=\lim_{x \to -1 \atop x<-1}(2x-1)(\dfrac{1}{\sqrt{x²-1}})=-\infty
 \\ 
 \\ * \lim_{x \to 1 \atop x>1}f(x)=\lim_{x \to 1 \atop x>1}(2x-1)(\dfrac{1}{\sqrt{x²-1}})=+\infty
Les droites d'équations x=-1 et x=1 sont asymptotes à (C)

Posté par
Samsco
re : Limites de fonctions composées 16-05-20 à 19:37

Je me suis trompé de topic sans m'en rendre compte  mdr , c'est pas ici que je voulais poster le message précédent



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1742 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !