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Limites de fonctions logarithmes.

Posté par
matheux14
06-03-21 à 21:59

Bonsoir ,

Merci d'avance.

Calculer les limites :

1) \lim_{x\to0}\dfrac{\ln (1+x²)}{x}

2) \lim_{x\to+\infty}x\ln \left(\dfrac{x+1}{x}\right)

3) \lim_{x\to0}x\ln \left(\dfrac{x+1}{x}\right)

4) \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln²}{x}

5)\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln (1+x²)}{x}

6) \lim_{x\to0}\dfrac{\ln (1+x)}{x²} (à gauche).

7) \lim_{x\to-\infty}\ln \left(x+\sqrt{1+x²}\right)

Réponses

1)

Posons X=x² alors x=\sqrt{X}

Lorsque x\to 0 , X\to0

Donc \lim_{x\to0}\dfrac{\ln (1+x²)}{x}=\lim_{X\to}\dfrac{\ln (1+X)}{\sqrt{X}}

=\lim_{X\to0}\sqrt{X}×\dfrac{\ln (1+X)}{X}

\begin{cases} \lim_{X\to0}\sqrt{X}=0
 \\ 
 \\  \\ \lim_{X\to0}\dfrac{\ln (1+X)}{X}=0 \end{cases}

Donc \lim_{x\to0}\sqrt{X}×\dfrac{\ln (1+X)}{X}=0

D'où \lim_{x\to0}\dfrac{\ln (1+x²)}{x}=0

2) \lim_{x\to+\infty}x\ln \left(\dfrac{x+1}{x}\right)

Posons X=\dfrac{x+1}{x} , on a xX=x+1 \iff xX-x=1 \iff x=\dfrac{1}{X-1}

Lorsque x\to+\infty , X\to1

Donc \lim_{x\to+\infty}x\ln \left(\dfrac{x+1}{x}\right)=\lim_{X\to1}\dfrac{1}{X-1}\ln X

=\lim_{X\to1}\dfrac{\ln X}{X-1}=1

Donc \lim_{x\to+\infty}x\ln \left(\dfrac{x+1}{x}\right)=1

3) \lim_{x\to0}x\ln \left(\dfrac{x+1}{x}\right)

Posons X=\dfrac{x+1}{x} , on a xX=x+1 \iff xX-x=1 \iff x=\dfrac{1}{X-1}

Lorsque x\to+0 , X\to+\infty

Donc \lim_{x\to0}x\ln \left(\dfrac{x+1}{x}\right)=\lim_{X\to+\infty}\dfrac{1}{X-1}\ln X

=\lim_{X\to+\infty}\dfrac{\ln X}{X-1}=\lim_{X\to+\infty}\dfrac{\ln X}{X}=0

Donc \lim_{x\to0}x\ln \left(\dfrac{x+1}{x}\right)=0

4) \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x²}{x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x×\ln x}{x}

Je bloque là..

Posté par
matheux14
re : Limites de fonctions logarithmes. 06-03-21 à 22:05

Citation :
4) \lim_{x\to+\infty}\dfrac{(\ln x)²}{x}


\lim_{x\to+\infty}\dfrac{(\ln x)²}{x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x×\ln x}{x}
 \\

Posté par
matheux14
re : Limites de fonctions logarithmes. 06-03-21 à 22:06

Citation :
4) \lim_{x\to+\infty}\dfrac{(\ln x)²}{x}


\lim_{x\to+\infty}\dfrac{(\ln x)²}{x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x×\ln x}{x}
 \\

Posté par
alwafi
re : Limites de fonctions logarithmes. 06-03-21 à 22:15

Bonsoir,
indication: poser X=racine carrée de x

Posté par
carpediem
re : Limites de fonctions logarithmes. 06-03-21 à 22:19

salut

quand x tend vers 0 ... mais de quel côté ?

\dfrac {\ln (1 + x^2)} x = \dfrac {\ln (1 + x^2) - \ln (1 + 0^2)} {x - 0}

x \ln \left( \dfrac {x + 1} x \right) = \dfrac {\ln \left( 1+ \dfrac 1 x \right) - \ln (1 + 0)} {\dfrac 1 x - 0}

Posté par
carpediem
re : Limites de fonctions logarithmes. 06-03-21 à 22:21

plus généralement remarquer que \dfrac {x + 1} x = 1 + \dfrac 1 x

donc souvent il suffit de poser X = \dfrac 1 x  ....

Posté par
matheux14
re : Limites de fonctions logarithmes. 06-03-21 à 22:32

À droite..

alwafi @ 06-03-2021 à 22:15

Bonsoir,
indication: poser X=racine carrée de x


Posté par
carpediem
re : Limites de fonctions logarithmes. 06-03-21 à 22:35

tout nombre positif est le carré de sa racine carrée ...

Posté par
matheux14
re : Limites de fonctions logarithmes. 06-03-21 à 22:46

Ouais mais c'est ce que j'avais fait..

Posté par
alwafi
re : Limites de fonctions logarithmes. 06-03-21 à 22:55

l'indication donnée est pour la quatrième limite

Posté par
matheux14
re : Limites de fonctions logarithmes. 06-03-21 à 23:19

Ah d'accord.

Posons X=\sqrt{x} ==> x=X²

Lorsque x\to+\infty , X²\to+infty

\lim_{x\to+\infty}\dfrac{(\ln x)²}{x}=\lim_{X\to+\infty}\dfrac{(\ln X²)²}{X²}=\lim_{X\to+\infty} \dfrac{\ln X²}{X}×\dfrac{\ln X²}{X}

Soit x_{0} \in ]0 ;+\infty[

On a : 0 \le \ln \sqrt{x_{0}} \le \sqrt{x_{0}}

0 \le \ln (x_{0}^{1/2}) \le \sqrt{x_{0}}

0 \le \dfrac{1}{2}\ln (x_{0}) \le \sqrt{x_{0}}

0 \le \ln (x_{0}) \le \dfrac{2}{\sqrt{x_{0}}}

0 \le \ln (x_{0}²) \le \dfrac{2}{x_{0}}}

0 \le \dfrac{\ln (x_{0}²)}{x_{0}} \le 2

Posté par
matheux14
re : Limites de fonctions logarithmes. 06-03-21 à 23:21

J'ai voulu passer par le théorème des gendarmes..

Posté par
carpediem
re : Limites de fonctions logarithmes. 06-03-21 à 23:23

ne sais-tu pas que \ln x^k = k \ln x ?

Posté par
larrech
re : Limites de fonctions logarithmes. 06-03-21 à 23:27

@matheux14

A la question 1/ tu écris

Citation :
\lim_{X\to0}\dfrac{\ln (1+X)}{X}=0


je te signale que c'est faux.

Posté par
alwafi
re : Limites de fonctions logarithmes. 06-03-21 à 23:41

il ne te reste plus qu'à remplacer  ln X^2 par 2 lnX et utiliser une limite de ton cours

Posté par
matheux14
re : Limites de fonctions logarithmes. 07-03-21 à 07:48

Citation :
\lim_{X\to0}\dfrac{\ln (1+X)}{X}={\red{1}}

Posté par
matheux14
re : Limites de fonctions logarithmes. 07-03-21 à 07:54

Posons X=\sqrt{x} ==> x=X²

Lorsque x\to+\infty , X²\to+infty

\lim_{x\to+\infty}\dfrac{(\ln x)²}{x}=\lim_{X\to+\infty}\dfrac{(\ln X²)²}{X²}=\lim_{X\to+\infty} \dfrac{\ln X²}{X}×\dfrac{\ln X²}{X}

=\lim_{X\to+\infty} \dfrac{2\ln X}{X}×\dfrac{2\ln X}{X}

=\lim_{X\to+\infty} 4 \dfrac{\ln X}{X}×\dfrac{\ln X}{X}

\lim_{X\to+\infty}=\lim_{X\to+\infty} \dfrac{\ln X}{X}=0

Donc \lim_{X\to+\infty} 4 ×\dfrac{\ln X}{X}×\dfrac{\ln X}{X}=4×0×0=0

Du coup \lim_{x\to+\infty}\dfrac{(\ln x)²}{x}=0

Posté par
carpediem
re : Limites de fonctions logarithmes. 07-03-21 à 09:38

COMBIEN DE FOIS FAUDRA-T-IL TE REPETER QUE CE QUE TU ECRIS EST FAUX A CAUSE DE CETTE SUITE DE LIM ??????????????????????

il faut transformer l'expression puis à la fin prendre la limite !!!

\dfrac {(\ln x)^2} x = \dfrac { (\ln \sqrt x^2)^2} x = 4 \left( \dfrac {\ln \sqrt x} {\sqrt x} \right)^2

Posté par
matheux14
re : Limites de fonctions logarithmes. 07-03-21 à 10:01

Ben si vous ne dites pas pourquoi c'est faux

Posté par
matheux14
re : Limites de fonctions logarithmes. 08-03-21 à 00:31

5) \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln (1+x²)}{x}

Je n'y arrive pas.

Posté par
matheux14
re : Limites de fonctions logarithmes. 08-03-21 à 00:54

Posons X=1+x² , alors x=\sqrt{X-1}

Lorsque x\to +\infty , X\to+\infty

\dfrac{\ln(1+x²)}{x}=\dfrac{\ln X}{\sqrt{X-1}}

=\dfrac{\ln X}{\sqrt{X²\left(\dfrac{1}{X}-\dfrac{1}{X²}}\right)}

=\dfrac{\ln X}{X\sqrt{\left(\dfrac{1}{X}-\dfrac{1}{X²}}\right)}

Donc \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(1+x²)}{x}=\lim_{X\to+\infty}\dfrac{\ln X}{X\sqrt{\left(\dfrac{1}{X}-\dfrac{1}{X²}}\right)}=\lim_{X\to+\infty}\dfrac{\ln X}{X}=0

D'où \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(1+x²)}{x}=0

Posté par
matheux14
re : Limites de fonctions logarithmes. 08-03-21 à 18:10

Alors c'est bon ?



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