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Limites et branches infinies

Posté par
princesyb 01-01-18 à 14:47

Bonjour,pouvez vous m'aider à résoudre ces limites.Elles sont difficiles à faire.

F (x)=\begin{cases} & \text x= x+\sqrt{2x^2+x} si x\geq 0 & \text x= x\sqrt{\frac{x}{x-2}} si x <0 \end{cases}

La limite en +oo c'est +oo (facile)
La limite en -oo c'est -oo (aussi facile)

Branches infinies en +oo
La limite quand x tend vers +oo de f (x) sur x est égale à 1+\sqrt{2}

J'ai surtout des problèmes concernant la limite quand x tend vers + oo de f (x)-ax(je trouve une forme indéterminée)
\lim_{x->+oo}}}x+ \sqrt{2x^2+x}-(1+\sqrt{2})x
\lim_{x->+oo}}}x+ x\sqrt{2+\frac{1}{x}}}-(1+\sqrt{2})x
\lim_{x->+oo}}}x [1+\sqrt{2+\frac{1}{x}}}-(1+\sqrt{2})]
\lim_{x->+oo}}}x (1+\sqrt{2+\frac{1}{x}}}-1-\sqrt{2})
\lim_{x->+oo}}}x (\sqrt{2+\frac{1}{x}}}-\sqrt{2})
Maintenant quand x tend vers +oo j'aurais 0×(+oo) qui n'est d'autre qu'un F.I
Aidez svp à faire cette limite


Quand vous aurez fini aidez moi aussi à faire la limite en -oo  de f (x)-ax (aussi un F.I)
Lim quand x tend vers -oo il de f (x) sur x est égale à 1

\lim_{x->-oo}}{x\sqrt{\frac{x}{x-2}}-x}
\lim_{x->-oo}}{x\sqrt{\frac{1}{1-\frac{2}{x}}}-x}
\lim_{x->-oo}}{x(\sqrt{\frac{1}{1-\frac{2}{x}}}-1})
0×+oo (F.I)
Et aussi je voulais vous souhaitez bonne année 2018

Posté par
lakere : Limites et branches infinies 01-01-18 à 14:55

Bonjour,

f(x)-(1+\sqrt{2})x=\sqrt{2x^2+x}-x\sqrt{2}

Multiplie haut et bas par la quantité conjuguée et factorise x au dénominateur obtenu.

Posté par
princesybre : Limites et branches infinies 01-01-18 à 14:59

Merci je vais essayer pour voir

Posté par
lakere : Limites et branches infinies 01-01-18 à 15:09

Les résultats en image:

  Limites et branches infinies

Posté par
princesybre : Limites et branches infinies 01-01-18 à 15:25

Je trouve +oo (es ce un résultat correct?)

Posté par
lakere : Limites et branches infinies 01-01-18 à 15:26

Ah ben non!

Regarde les équations des asymptotes sur le dessin

Posté par
lakere : Limites et branches infinies 01-01-18 à 15:30

D'ailleurs, je me suis trompé; tu dois tomber sur \dfrac{1}{2\sqrt{2}}

Posté par
princesybre : Limites et branches infinies 01-01-18 à 15:31

Ah bon,je vais revoir alors les calculs

Posté par
princesybre : Limites et branches infinies 01-01-18 à 15:42

J'ai essayé,réessayé mais je n'arrive pas à trouver

Posté par
lakere : Limites et branches infinies 01-01-18 à 15:48

On suppose x>0

f(x)-(1+\sqrt{2})x=\sqrt{2x^2+x}-x\sqrt{2}=\dfrac{(\sqrt{2x^2+x}-x\sqrt{2})(\sqrt{2x^2+x}+x\sqrt{2})}{\sqrt{2x^2+x}+x\sqrt{2}}

  f(x)-(1+\sqrt{2})x=\dfrac{x}{\sqrt{2x^2+x}+x\sqrt{2}}=\dfrac{x}{x\left(\sqrt{2+\dfrac{1}{x}}+\sqrt{2}\right)}

   f(x)-(1+\sqrt{2})x=\dfrac{1}{\sqrt{2+\dfrac{1}{x}}+\sqrt{2}}

et on passe à la limite en +\infty

Posté par
princesybre : Limites et branches infinies 01-01-18 à 15:53

f (x)-(1+2)x
Normalement on obtient
f (x )-x-2x

Comment avez vous trouvé -x2 svp

Posté par
lakere : Limites et branches infinies 01-01-18 à 15:56

-\sqrt{2}x ou -x\sqrt{2}, c'est la même chose.

et f(x)={\red x}+\sqrt{2x^2+x}

  dans la différence, les "x" s'annulent.

Posté par
princesybre : Limites et branches infinies 01-01-18 à 16:02

Tout est Clair maintenant merci infiniment
Je vais essayé de faire de même avec -oo pour voir si je trouve

Posté par
lakere : Limites et branches infinies 01-01-18 à 16:03

Oui mais avant de passer aux quantités conjuguées, factorise par x.

Tu dois tomber sur 1 pour la limite en -\infty

Posté par
princesybre : Limites et branches infinies 01-01-18 à 16:04

D'accord

Posté par
princesybre : Limites et branches infinies 01-01-18 à 16:42

J'en réussis à faire la limite
Il reste une dernière question
Étudier la position de Cf par rapport à l'asymptote en +oo sur [0;+oo [


Équations asymptote en +oo
Y=(1+2)x+\frac{1}{2\sqrt{2}}
Y=(1+2)x+\frac{\sqrt{2}}{4}

Je pense qu'il faut faire f (x)-Y (es ce bien cela?)


Aprés je voulais que vous m'expliquezrcomment construire une branche parabolique de direction (ox),(oy) et de droite d'équation y=ax si possible

Posté par
lakere : Limites et branches infinies 01-01-18 à 16:52

Citation :
Je pense qu'il faut faire f (x)-Y (es ce bien cela?)


et étudier le signe de cette expression.

Oui mais en l'occurrence, étant donné que f(x) et Y sont positifs sur l'intervalle considéré, il vaut mieux comparer f^2(x) et Y^2

  Ou encore étudier le signe de f^2(x)-Y^2.

Pour les branches paraboliques, on ne peut guère les "construire".

  Suivant qu'elles sont d'axe Ox ou Oy ou d'axe "oblique", on pourra seulement avoir une allure de courbe.

Posté par
lakere : Limites et branches infinies 01-01-18 à 16:59

Citation :
Oui mais en l'occurrence, étant donné que f(x) et Y sont positifs sur l'intervalle considéré, il vaut mieux comparer f^2(x) et Y^2

  Ou encore étudier le signe de f^2(x)-Y^2.


Ce n'est pas exactement ce que je voulais écrire:

   f(x)-Y=\sqrt{2x^2+x}-x\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}

On veut donc comparer \sqrt{2x^2+x} et x\sqrt{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{4} qui sont positives sur [0,+\infty[

et en l'occurrence, il vaut mieux comparer leurs carrés, c'est à dire étudier le signe de la différence:

  D=2x^2+x-\left(x\sqrt{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)^2

Posté par
princesybre : Limites et branches infinies 01-01-18 à 17:00

D'accord j'ai saisi,vous êtes un excellent prof
😁😁😁😁😁😁😁😁😁✌✌✌
Au revoir

Posté par
lakere : Limites et branches infinies 01-01-18 à 17:02


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