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Limites et dérivation
Bonjour,
Je fais face à un exercice particulièrement tordu (de mon avis) en rapport aux limites et dérivations. Je vous remercie d'avance pour toute aide que vous souhaiterez m'apporter :
On considère la fonction définie pour x 
]0 ; +
[ par f(x) = xln(x).
a) Si x > 0, montrer qu'il existe un nombre c(c) ]x ; x+1[ tel que
f(x+1) - f(x) = f ' (c(x))
b) xln(1+(1/x)) = lnc(x)/(x+1) + 1
c) Calculer limite de c(x)/(x+1) lorsque x tend vers +. En déduire que la limite de xln(1 + 1/x) lorsque x tend vers + = 1
d) En déduire la limite de (1 + 1/x)x = 1
Pour a) j'ai compris que f(x+1) - f(x) / (x+1-x) = f(x+1) - f(x). Mais je ne suis pas sur de la preuve à apporter pour démontrer l'égalité.
Pour b) j'ai tenté de multiples factorisations sans succès.
Pour c) : Soit k ]0 ; 1[, on a : c(x) / (x+1) = (x+k)/(x+1)
= (x(1 + k/x)) / (x(1 + 1/x)) = (x/x) * ((1 + k/x) / (1 + 1/x)) = 1 * ((1 + k/x) / (1 + 1/x))
Limites de 1/x et de k/x lorsque x tend vers + = 0
Donc limite de ((1 + k/x) / (1 + 1/x)) lorsque x tend vers + = 1
Donc limite de c(x)/(x+1) lorsque x tend vers + = 1.
On sait que xln(1 + 1/x) = lnc(x)/(x+1) + 1
Or, on sait que limite de c(x)/(x+1) lorsque x tend vers + = 1
Donc limite de ln(c(x)/(x+1)) lorsque x tend vers + = 0
Donc limite de ln(c(x)/(x+1)) + 1 lorsque x tend vers + = 1
Donc limite de xln(1 + 1/x) lorsque x tend vers + = 1
d) Limite de 1 + 1/x lorsque x tend vers + = 1
Donc (1 + 1/x)x lorsque x tend vers + = 1
Alors oui et non : je l'avais oublié, j'ai du la retrouver sur internet. Donc szi je comprends bien, soit a et b IR avec a < b, il existe un point c (ici c(x)) entre les point a (ici x) et b (ici x+1) vérifiant : (f(b) - f(a)) / (b-a) = f'(c)
Soit (f(x+1) - f(x)) / (b-a) = f'(c(x))
Et... c'est tout ? L'égalité est prouvée juste comme ça ?
D'accord, merci beaucoup en ce cas.
Pouvez-vous également me donner une aide pour résoudre le b) s'il vous plaît ?
b/ se déduit de a/ quand tu auras écris proprement la relation non pas avec f mais avec son expression ...
Soit f(x+1) - f(x) = f ' (c(x))
<=> (x+1)ln(x+1) - xln(x) = 1*ln(x) - c(x)*(1/x)
<=> (x+1)ln(x+1) - xln(x) = ln(x) - c(x)/x
<=> ln((x+1)/x)*(x+1-x) = ln(x) - c(x)/x
<=> ln((x+1)/x) = ln(x) - c(x)/x
Et après cela, je bloque. Sans doute ai-je fais une erreur quelque part...
Attendez, si je poursuis cela donne :
ln((x+1)/x) = ln(x) - c(x)/x
<=> ln(1 + 1/x) = ln(x) - c(x)/x
<=> ln(1 + 1/x) = (x*ln(x) - c(x)) /x
<=> x*ln(1 + 1/x) = xln(x) - c(x)
la deuxième ligne de 14h23 me semble fausse ...
il peut être utile et efficace d'apprendre à travailler avec méthode (en décomposant le travail) :
f(x) = ...
donc f'((x) = ...
puis ensuite travailler avec l'égalité
Oui, pardon je reprends :
f(x) = xln(x)
f'(x) = x'*ln(x) + x*(ln(x))' = 1/ln(x) + x*(1/x) = ln(x) + 1
De même, pour f(c(x)) = c(x)ln(c(x)) :
[c(x)ln(c(x))]' = c'(x)*ln(c(x)) + c(x)*(ln(c(x)))' = 1*ln(c(x)) + c(x)*(1/c(x)) = ln(c(x)) + 1
Donc on a : (x+1)ln(x+1) - xln(x) = ln(c(x)) + 1
<=> ln((x+1)/x)*(x+1-x) = ln(c(x)) + 1
<=> ln((x+1)/x) = ln(c(x)) + 1
<=> ln(1 + 1/x) = ln(c(x)) + 1
Malheureusement je retourne dans une impasse...
Oui, pardon je reprends :
f(x) = xln(x)
f'(x) = x'*ln(x) + x*(ln(x))' = 1/ln(x) + x*(1/x) = ln(x) + 1
De même, pour f(c(x)) = c(x)ln(c(x)) :
[c(x)ln(c(x))]' = c'(x)*ln(c(x)) + c(x)*(ln(c(x)))' = 1*ln(c(x)) + c(x)*(1/c(x)) = ln(c(x)) + 1 donc f'(c(x)) = ln (c(x)) + 1
Donc on a : (x+1)ln(x+1) - xln(x) = ln(c(x)) + 1
<=> ln((x+1)/x)*(x+1-x) = ln(c(x)) + 1 faux
<=> ln((x+1)/x) = ln(c(x)) + 1
<=> ln(1 + 1/x) = ln(c(x)) + 1
Malheureusement je retourne dans une impasse...
donc
et c'est normal que tu ne comprennes pas et fasse des erreurs car
b) xln(1+(1/x)) = lnc(x)/(x+1) + 1
PS : à partir de (*) on obtient bien ce qui est demandé parce que je sais lire ce qui est demandé ...
Cela ne m'avance pas vraiment : j'avais bien trouvé que ln((x+1)/x)*(x+1-x) = ln(c(x)) + 1
Mais comment prouvé que x*ln(1+(1/x)) = ln[(c(x))/(x+1)] + 1
J'ai la fiche sous les yeux, c'est bien ce qui est demandé : Calculer la dérivée de f et en déduire que pour tout x > 0 : x*ln(1+(1/x)) = ln[(c(x))/(x+1)] + 1
Cela ne m'avance pas vraiment : j'avais bien trouvé que ln((x+1)/x)*(x+1-x) = ln(c(x)) + 1 est faux
Mais comment prouvé que x*ln(1+(1/x)) = ln[(c(x))/(x+1)] + 1
J'ai la fiche sous les yeux, c'est bien ce qui est demandé : Calculer la dérivée de f et en déduire que pour tout x > 0 : x*ln(1+(1/x)) = ln[(c(x))/(x+1)] + 1 est différent de ce qui est donné au départ
RAP : (x + 1) a = xa + a ...
Ah oui merci. Effectivement le développement ne m'était pas venu à l'esprit.
Cela donne donc :
(x+1)ln(x+1) - xln(x) = ln(c(x)) + 1
<=>xln(x+1) + ln(x+1) - xln(x) = ln(c(x)) + 1
<=> xln(x+1) - xln(x) = ln(c(x)) + 1 - ln(x+1)
<=> x*(ln(x+1) xln(x)) = ln[c(x)/(x+1)] + 1
<=> xln((x+1)/x) = ln[c(x)/(x+1)] + 1
<=> xln(1 + 1/x) = ln[c(x)/(x+1)] + 1
Est-ce correct (la procédure pour parvenir au résultat j'entends) ?
Oui en effet, j'ai oublié le signe moins : x*(ln(x+1) - xln(x)) = ln[c(x)/(x+1)] + 1
Et bien merci beaucoup. Si vous souhaitez me dire si le c) et le d) sont corrects ou non également, n'hésitez pas .
Sinon je vous remercie encore pour votre aide.
c) : Soit k
]0 ; 1[, on a : c(x) / (x+1) = (x+k)/(x+1)
= (x(1 + k/x)) / (x(1 + 1/x)) = (x/x) * ((1 + k/x) / (1 + 1/x)) = 1 * ((1 + k/x) / (1 + 1/x))
Limites de 1/x et de k/x lorsque x tend vers +
= 0
Donc limite de ((1 + k/x) / (1 + 1/x)) lorsque x tend vers +
= 1
Donc limite de c(x)/(x+1) lorsque x tend vers +
= 1.
On sait que xln(1 + 1/x) = lnc(x)/(x+1) + 1
Or, on sait que limite de c(x)/(x+1) lorsque x tend vers +
= 1 inutile
Donc limite de ln(c(x)/(x+1)) lorsque x tend vers +
= 0
Donc limite de ln(c(x)/(x+1)) + 1 lorsque x tend vers +
= 1
Donc limite de xln(1 + 1/x) lorsque x tend vers +
= 1
d) Limite de 1 + 1/x lorsque x tend vers +
= 1
Donc (1 + 1/x)x lorsque x tend vers +
= 1 fauxcomment passes-tu de x ln (1 + 1/x) à (1 + 1/x)^x ?
Mes excuses pour mon retour tardif : je n'avais pas pris garde de vérifier le sujet !
Ma foi pour le d), lorsque x tend vers +, on a lim 1/x = 0
Donc limite de 1 +1/x lorsque x tend vers + = 1
Donc 1x lorsque x tend vers + = 1
Donc (1+ 1/x)x x tend vers + = 1
Bonjour, je crois avoir enfin trouvé la solution.
Soit limite de xln(1 + 1/x) lorsque x tend vers + = 1
Or : (1 + 1/x) = exp(ln(1 + 1/x))
Donc : (1 + 1/x)x = exp(ln(1 + 1/x)x) = exp(x*ln(1 + 1/x))
Puisque l'on sait que limite de xln(1 + 1/x) lorsque x tend vers + = 1,
limite de exp(x) lorsque x tend vers 1 = e
Puisque (1 + 1/x)x = exp(x*ln(1 + 1/x)), on a :
Limite de (1 + 1/x)x lorsque x tend vers + = e
Est-ce correct ?
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