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limites et variation de fonction ln

Posté par Nelcar 28-11-20 à 20:54

Bonsoir,
voici un exercice à savoir :
soit f la fonction définie sur ]-infini ; -2[ par
f(x)= ln ((x-5)/(x+2))
1) déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition et préciser les asymptotes éventuelles à la courbe représentative de f
2) étudier les variations de la fonction f pour ]-infini ; -2[


1) il faut que x-5>0    x=5    et x+2  x=-2
donc Df = ]-infini:-2[
x   - infini                              -2                            0                 5            + infini
x-5                    -                                     -                        -       0       +
x+2                   -                     0              +                       +                +
(x-5)(x+2)        +                                    -                        -                 +

lim  ln(x)   =   + infini
x +infini
lim  (x-5)/(x+2)    = lim  (1-5/x)/(1+2/x)=1
xinfini           x+infini
je pense qu'il y a une asymptotes verticales (mais pas encore vu en cours, d'ailleurs c'est pénible d'avoir à faire des exercices alors qu'on a pas vu en cours)

mais je ne sais ce qu'il faut faire exactement

2) la fonction f(x) est de la forme ln(u) avec u(x)=(x-5)/(x-2). Sur ]-infini ; -2[ la fonction u est dérivable et strictement positive donc f est dérivable et f'(u'/v') avec u'(x)= (x-5)/(x-2)²
ainsi pour tout x <2, u'(x)>0 et u(x)<0 donc u'(x)/v(x)>0 soit f '(x)>0 f est donc croissante sur
]-infini ; -2[

MERCI

Posté par
hekla
re : limites et variation de fonction ln 28-11-20 à 21:08

Bonjour

Il faudrait faire un peu plus attention vous cherchez des limites en + \infty  alors qu'elle n'est définie que sur ]-\infty~;~-2[

Ensemble de définition \dfrac{x-5}{x+2}>0

Le tableau que vous avez fait sert aussi à cela.


\displaystyle  \lim_{x\to -\infty}\ln\left(\dfrac{x-5}{x+2}\right)=\qquad  \lim_{x\to -\infty}\dfrac{x-5}{x+2}=1

Vous n'avez pas donné la limite en  -2


\left(\ln u\right)'= \dfrac{u'}{u}

Posté par Nelcarre : limites et variation de fonction ln 28-11-20 à 21:35

Re,
oui mais je pensais que la lim de ln n'était que 0 ou + infini (rien vu d'autre)

et pour le 2)  je ne sais pas comment faire

MERCI

Posté par
hekla
re : limites et variation de fonction ln 28-11-20 à 21:42

Vous avez montré que  \dfrac{x-5}{x+2} tendait vers 1 quand x tend vers -\infini

donc quand x tend vers -\infini f(x) tend vers \ln 1 soit 0

question 2  u(x)=\dfrac{x-5}{x+2}   vous pouvez donc calculer u'(x)

ensuite  f'= \dfrac{u'}{u}

Posté par Nelcarre : limites et variation de fonction ln 28-11-20 à 22:27

Re,
2)
la fonction f(x) est de la forme ln(u) avec u(x)=(x-5)/(x-2). Sur ]-infini ; -2[ la fonction u est dérivable et strictement positive donc f est dérivable et f'(u'/v') avec u'(x)= (x-5)/(x-2)²
ainsi pour tout x <2, u'(x)>0 et u(x)<0 donc u'(x)/v(x)>0 soit f '(x)>0 f est donc croissante sur
]-infini ; -2[
u'(x) = 1
f'= 1/(x-5)
alors là je suis perdue, je pensais que je devais faire (u/v)'=u'v-uv' /v²

Là je ne sais plus
MERCI

Posté par
hekla
re : limites et variation de fonction ln 28-11-20 à 22:51

Pourquoi remettre f'(u'/v') ?  je n'ai jamais écrit cela

on a posé u(x)= \dfrac{x-5}{x+2} , u étant déjà pris on va donc dire que

u=\dfrac{v}{w}\quad u'=\dfrac{v'w-w'v}{w^2} avec v(x)=x-5 et w(x)=x+2

Que vaut alors u'(x) ? ensuite

on aura f'=\dfrac{u'}{u}

Posté par Nelcarre : limites et variation de fonction ln 29-11-20 à 11:17

Bonjour,
j'avoue que je suis perdue
donc vient de calculer u' j'ai u'=7/(x+2)²
puis je fais u'/u (mais je ne comprend pas pourquoi)
f' = u'/ u
f'= numérateur : 7/(x+2)² et au dénominateur (x-5)/(x+2) mais là je suis perdue
est-ce que je peux faire 7/(x+2)²*(x+2)/(x-5)

MERCI

Posté par
hekla
re : limites et variation de fonction ln 29-11-20 à 11:34

Tout simplement parce que c'est la dérivée  de  \ln u c'est ce que vous devez avoir dans votre cours  sinon vous pouvez aller voir ici
un cours sur la fonction logarithme népérien

Ensuite oui f'(x)=\dfrac{7}{(x+2)^2}\times \dfrac{x+2}{x-5}

Pas de problème pour le signe  voir premier message

Posté par Nelcarre : limites et variation de fonction ln 29-11-20 à 13:09

Re,
ok pou f '(x)=u'(x)/u(x) donc
f '(x) = (7/(x+2)²*(x+2)/(x-5)
j'arrive à (7x+14)/(2x²-6x-20)
numérateur : x=2
dénominateur : j'ai deux valeurs x1=5   et x2=-2
5 n'étant pas dans l'intervalle la solution est donc x=2

MERCI

Posté par
hekla
re : limites et variation de fonction ln 29-11-20 à 13:31

Aucun intérêt de développer  ce que l'on veut est le signe de  f'(x)

On a f'(x)=\dfrac{7}{(x+2)^2}\times \dfrac{x+2}{x-5}

On aurait pu simplifier mais  cela n'avait pas beaucoup d'intérêt pour le signe

le signe est donc celui de \dfrac{x+2}{x-5}
vous avez  hier 20 :54 établi le signe du produit. Icelui est évidemment le même que celui du quotient   Il faut juste enlever la valeur pour laquelle le quotient est nul

Sur  ]-\infty~;~-2[   on y lit  positif et aucune valeur pour laquelle le dénominateur ou le numérateur est nul.  Donc quel que soit x\in ]-\infty~;~-2[,\  f'(x)>0

Posté par Nelcarre : limites et variation de fonction ln 29-11-20 à 13:40

Re,
ok (j'avoue que j'ai du mal)
pour la question 1) déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition et préciser les asymptotes éventuelles à la courbe représentative de f

comment je dois faire pour les asymptotes (d'après ma calculatrice j'ai vu que c'était une asymptote verticale mais comment faire pour savoir s'il y en a plusieurs enfin je ne sais pas

MERCI

Posté par
hekla
re : limites et variation de fonction ln 29-11-20 à 13:46

Sur l'intervalle de définition ]-\infty~;~-2[ aucune valeur ne pose problème

vous n'avez que 2 limites à calculer

en -\infty c'est fait vous avez trouvé  0   N'y aurait-il pas une asymptote ici ?

Vous calculez la limite en -2^- si vous montrez que cette limite est infinie alors vous pourrez dire que la courbe admet la droite d'équation x=-2 comme asymptote

Posté par Nelcarre : limites et variation de fonction ln 29-11-20 à 14:44

Re,
à la question 1 j'ai établi le signe du produit. celui ci est évidemment le même que celui du quotient  

lim  ln(x)     =   (x-5)/(x+2)  =    lim      (x-5)/(x+2)    = -7
x -2                                             x  -2

Je ne comprends pas lorsque vous me dites en - infini n'y aurait-il pas une asymptote ? Comment savoir si il y a une asymptote.

donc la limite en -2 me donne -7 donc tend vers - l'infini   que voulez vous dire que si cette limite est infinie alors vous pourrez dire que la courbe admet la droite d'équation x=-2 comme asymptote.

Toujours le même soucis comme trouver ou calculer la ou les asymptote

MERCI

Posté par
hekla
re : limites et variation de fonction ln 29-11-20 à 14:58

  Pour que vous alliez voir les différentes sortes d'asymptotes  soit dans votre cours soit ici
Limite de fonctions et asymptotes : résumé

limite en -2  

première étape \displaystyle \lim_{x\to -2}\dfrac{x-5}{x+2}=

deuxième étape \displaystyle \lim_{X\to +\infty} X=

troisième étape  \displaystyle \lim_{x\to -2} \ln X=

fonction  f non définie en x_0 et \displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty alors la courbe représentative de f admet la droite x=x_0 comme asymptote

Posté par Nelcarre : limites et variation de fonction ln 29-11-20 à 15:16

Re,
je suis désolée mais là je ne comprend pas ce que je dois faire (et surtout comment) Merci de m'aider.

Posté par
hekla
re : limites et variation de fonction ln 29-11-20 à 15:29

Je vous ai détaillé  les calculs qu'il fallait faire  Ce ne sont que des  calculs de limites comme vous en avez déjà faits

  \displaystyle \lim_{x\to -2}\dfrac{x-5}{x+2}=

on commence par la limite du numérateur  puis la limite du dénominateur  enfin du quotient

si le numérateur tend vers une limite finie et le dénominateur vers 0 alors le quotient tend vers l'infini  le signe suivant la règle

On passera à la suite après

Posté par Nelcarre : limites et variation de fonction ln 29-11-20 à 16:03

re,
limite du numérateur x-5= -7 donc - infini
dénominateur x+2 = 0  + infini(o par valeurs positives)
le quotient est - infini

imite du numérateur x-5= -7 donc - infini
dénominateur x+2 = 0  - infini(o par valeurs négatives)
le quotient est + infini


MERCI

Posté par
hekla
re : limites et variation de fonction ln 29-11-20 à 16:11

Il ne faut pas tout mélanger; Pourquoi un bis ?

\displaystyle \lim_{x\to -2} x-5=-7 ;  pas question d'infini

\displaystyle \lim_{x\to -2} x+2=0

\displaystyle \lim_{x\to -2} \dfrac{x-5}{x+2}=+\infty   les deux sont négatifs

deuxième étape  \displaystyle \lim_{X\to +\infty} \ln X=

Posté par Nelcarre : limites et variation de fonction ln 29-11-20 à 18:10

Re,
je ne sais pas quoi répondre
comment faut-il faire pour trouver
comme ça je dirai + infini mais.....

merci

Posté par
hekla
re : limites et variation de fonction ln 29-11-20 à 18:17

Si X tend vers +\infty il est bien évident que X tend vers +\infty


première étape \displaystyle \lim_{x\to -2}\dfrac{x-5}{x+2}=+\infty

deuxième étape \displaystyle \lim_{X\to +\infty} X=+\infty

troisième étape  \displaystyle \lim_{x\to -2} \ln \dfrac{x-5}{x+2}=

Posté par Nelcarre : limites et variation de fonction ln 29-11-20 à 18:37

Re,
je vais donc dire + infini
Mais je n'ai pas compris le X c'est quoi
et merci de m'expliquer pour les asymptotes.

MERCi

Posté par
hekla
re : limites et variation de fonction ln 29-11-20 à 18:48

Oui c'est bien +\infty

Une façon de déterminer les limites de fonctions composées.  

Vous avez lu la page  ?

Donc en -\infty on a montré que f tendait vers 0 quand x tendait vers -\infty
par conséquent la courbe représentative de f admet l'axe des abscisses comme asymptote  ce qui signifie que
plus on se rapproche de l'infini plus la courbe va se rapprocher de l'axe des abscisses ou si vous préférez la distance entre un point de la  courbe et un point de l'axe  va diminuer

en -2 on a bien une asymptote  la droite d'équation x=-2  la fonction n'est pas définie en -2  et on va pouvoir se rapprocher de cette droite autant que l'on veut

Posté par Nelcarre : limites et variation de fonction ln 29-11-20 à 19:08

Re,
oui j'ai imprimé pour voir.
mais dans cet exercice il y a qu'une e asymptote ?

MERCI

Posté par
hekla
re : limites et variation de fonction ln 29-11-20 à 19:15

Dans icelui
une parallèle à l'axe des abscisses  l'axe lui-même

une parallèle à l'axe des ordonnées  la droite x=-2

Posté par Nelcarre : limites et variation de fonction ln 29-11-20 à 19:31

ok
merci beaucoup
j'espère que l'on va le travailler un peu en cours.

Bonne soirée

Posté par
hekla
re : limites et variation de fonction ln 29-11-20 à 19:33

De rien

Bonne soirée

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