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limites suites et intégrales

Posté par
tetras 16-05-25 à 13:30

Bonjour
voici un grand sujet...
On considère la fonction  fn(x) définie sur R par :
f n(x)=(x+2)e^{-nx} où n est un entier naturel non nul. On note Cn sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité graphique 4 cm
1. a. Déterminer la limite de la fonction f1 en -.
+par produit
b. Déterminer la limite de f1 en + puis donner une interprétation graphique de ce résultat.
comment lever l'indétermination?
2. Étudier les variations de la fonction f 1 sur R puis construire son tableau de variations.
3. Déterminer le signe de la fonction f 1sur R.
4. On note S1 la surface délimitée par C1, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=1. Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, une valeur exactes puis arrondie à 10 ^ - 3 * de l'aire en cm²du domaine S1.
je vais joindre une photo de la suite

merci

Posté par
Kohlere : limites suites et intégrales 16-05-25 à 13:44

Bonjour,
1)b) f_1(x)=(x+2)e^{-x}=xe^{-x}+2e^{-x}

Posté par
Leilere : limites suites et intégrales 16-05-25 à 13:46

bonjour,

je ne fais que passer..

1a)  comment trouves tu   +oo  ?

1b) l'indetermination ? tu peux préciser ?  

Posté par
tetrasre : limites suites et intégrales 16-05-25 à 13:54

en - la limite est - par produit oups

Posté par
tetrasre : limites suites et intégrales 16-05-25 à 13:55

Le sujet

limites suites et intégrales

Posté par
Kohlere : limites suites et intégrales 16-05-25 à 14:10

Bonjour à tous,
Je ne sais pas ce que j'ai fabriqué mais Leile a raison :
Il n'y a aucune indétermination en 1)b).

Posté par
Kohlere : limites suites et intégrales 16-05-25 à 14:13

... sauf si l'on ne connaît que la limite du cours : \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty

Posté par
tetrasre : limites suites et intégrales 16-05-25 à 14:43

ok donc limite en +=0
Asymptote horizontale
S=intégralede 0à1
pour la 5 je trouve [(-x-2)e^{-x}]-S-e^{-x}

=[(-x-2)e^{-x}]+Se^{-x} \\ \\ =[(-x-3)e^{-x}]
mais je trouve une valeur négative -4e^{-1}-3<<0

gênant pour une aire

Posté par
Kohlere : limites suites et intégrales 16-05-25 à 14:47

Citation :
ok donc limite en +=0

Oui (avec une minuscule justification).
Pour l'instant, il manque les variations de f_1 et son signe sur \mathbb{R}
?

Posté par
tetrasre : limites suites et intégrales 16-05-25 à 14:54

merci oui j'ai justifié, avec la limite de la somme
f est croissante puis décroissante
maximum en -1
négative sur ]-;-2] puis >0
donc elle est bien positive sur [0;1]

Posté par
Kohlere : limites suites et intégrales 16-05-25 à 15:01

Très bien.
5)

Citation :
S=[(-x-3)e^{-x}]_0^1

Oui mais ensuite :

Citation :
S=-4e^{-1}-3

Il  y a une erreur de signe mais pas seulement :

Citation :
5) Calculer, à l'aide d'une intégration par parties,  de l'aire exacte puis arrondie à 10^-3 de l'aire en cm2 du domaine \mathcal{S}_1

Posté par
Kohlere : limites suites et intégrales 16-05-25 à 15:25

Plutôt :

Citation :
5) Calculer, à l'aide d'une intégration par parties,  une valeur exacte puis arrondie à 10^-3 de l'aire en cm2 du domaine \mathcal{S}_1

Posté par
tetrasre : limites suites et intégrales 16-05-25 à 15:47

ah merci donc mon intégrale est juste
S1=-4e^{-1}+31,53cm²?

Posté par
Kohlere : limites suites et intégrales 16-05-25 à 15:54

Pas tout à fait; ce que tu obtiens est une aire en unité d'aire mais pas en cm2.

Posté par
tetrasre : limites suites et intégrales 16-05-25 à 16:06

exact!
donc environ 24cm²
merci

Posté par
Kohlere : limites suites et intégrales 16-05-25 à 16:08

Tu as mérité un petit dessin :
limites suites et intégrales
Je quitte pour moins d'une heure ...

Posté par
tetrasre : limites suites et intégrales 16-05-25 à 21:08


c'est beau!
merci
je continue...

Posté par
tetrasre : limites suites et intégrales 17-05-25 à 09:31

j'ai réussi à calculer In+1-In
pour le sens de variation jai étudié le signe de la fonction à l'intérieur de l'intégrale.
<0 sur ]-;-2[
et sur ]-1;+
Donc In est décroissante puis croissante puis décroissante?
C'est cohérent avec la courbe et ton graphique

Posté par
Kohlere : limites suites et intégrales 17-05-25 à 10:58

Bonjour,

Citation :
pour le sens de variation jai étudié le signe de la fonction à l'intérieur de l'intégrale.

Oui mais il faut l'étudier sur l'intervalle d'intégration [0,1]

Posté par
tetrasre : limites suites et intégrales 17-05-25 à 12:24

ok donc (In) croissante car
0<2
car : La fonction dans l'intégrale est continue et positive

Posté par
Kohlere : limites suites et intégrales 17-05-25 à 12:34

Non :

\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_0^1(x+2)e^{-nx}(e^{-x}-1)\,\text{d}x

Sur [0,1], le signe de l'intégrande est celui de e^{-x}-1

Posté par
tetrasre : limites suites et intégrales 17-05-25 à 13:56

ah intégrande comme radicande je ne connaissais pas ce terme merci
e^{-x}-1>0

e^{-x}>e^{0}

\\ \\ \\ \\ x<0
Donc (In) décroissante sur []
pour la 6c)je pense qu'il faut utiliser le résultat précédent donc
je pensais faire In+1<In<In-1
je galère à chaque question

Posté par
Kohlere : limites suites et intégrales 17-05-25 à 14:11

Oui, enfin, il est plus clair d'écrire que pour x\geq 0,\quad e^{x}\geq 1 donc que e^{-x}\leq 1

6)c) I_n=\displaystyle\int_0^1(x+2)e^{-nx}\,\text{d}x

Je pense qu'il est clair pour toi que l'intégrande est positive sur [0,1] donc que I_n\geq 0

Pour la majoration, sur [0,1], x+2\leq 3 et la suite ...

Posté par
Kohlere : limites suites et intégrales 17-05-25 à 14:17

Au fait :

Citation :
Donc (In) décroissante sur []

Je ne sais pas ce que tu as voulu écrire mais "la suite (I_n) est décroissante" est ce qui est attendu.

Posté par
tetrasre : limites suites et intégrales 17-05-25 à 14:43

merci beaucoup j'ai réussi à démontrer l'encadrement demandé
(In)décroissante sur [0;1]
sa limite tend vers 0 quand n tend vers +
elle converge vers 0 d'après le théorème des gendarmes

Posté par
Kohlere : limites suites et intégrales 17-05-25 à 14:53

Citation :
(In)décroissante sur [0;1]

Je t'ai dit au dessus que ça n'avait pas de sens :
Citation :
(I_n) décroissante

tout court.
Pour conclure, je trouve ton exercice très artificiel.
Un cas où on peut expliciter I_n en fonction de n (fais le !) assez rare pour être signalé.
Pour information et contrôle on trouve :

I_n=\dfrac{2n+1-(3n+1)e^{-n}}{n^2}

qui donne immédiatement \lim\limits_{n\to +\infty}I_n=0 \\ sans passer par encadrements et gendarmes.
Bon après midi

Posté par
tetrasre : limites suites et intégrales 17-05-25 à 15:04

je crois que j'ai confondu les bornes d'intégration et l'intervalle sur lequel (In) décroissante
ce n'est pas très clair pour moi
n c'est la constante dans l'exponentielle


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