Niveau Maths sup

Linéariser cos(5a) en fonction de cos(a)

Posté par
Teusner 24-12-16 à 12:56

Bonjour,
J'aimerai linéariser cos(5a) en fonction de cos(a). J'ai déjà fais ceci :

$\\ \cos{5a} = \cos^{5}{a} \\ = \frac{(e^{ia}+e^{-ia})^{5}}{2} \\ = \frac{1}{2} [e^{5ia}+5e^{4ia}e^{-ia}+10e^{3ia}e^{-2ia}+10e^{2ia}e^{-3ia}+5e^{ia}e^{-4ia}+e^{-ia}] \\ =\frac{1}{2}[e^{5ia}+e^{-5ia} +5e^{3ia}+5e^{-3ia} +10e^{ia}+10e^{-ia} ] \\ =\frac{1}{2}[2\cos^{5}{a}+2*5\cos^{3}{a} + 2*10\cos{a}] \\ =\cos^{5}{a}+5\cos^{3}{a} +10\cos{a} \\$

J'aimerai être sûr de mon résonnement (et de mon résultat), d'autant plus que j'ai trouvé sur un site internet :

$\\ \cos{5a} = 16\cos^{5}{a}-20\cos^{3}{a}+5\cos{a} \\$

Pouvez vous me dire laquelle de ces deux réponses est juste, et dans le cas où j'aurai faux, pourquoi mon résonnement est-il incorrect ?

Merci d'avance

Posté par re : Linéariser cos(5a) en fonction de cos(a) 24-12-16 à 13:08

oula pour tout a €R cos^5 (a) =/= cos (5a)

d'ailleurs cos (5a) c'est déjà lineariser ça veut rien dire lineariser cos(5a)

Posté par re : Linéariser cos(5a) en fonction de cos(a) 24-12-16 à 13:08

Bonjour !
Comme tu commences avec du faux : $\cos 5a=\cos^5a$ pas la peine de vérifier tes calculs...

Si tu veux $\cos 5a$ il faut partir de $\cos5a+i\sin5a=e^{5ia}=(e^{ia})^5=(\cos a+i\sin a)^5$ .

Si tu veux $\cos^5a$ tu pars de $\cos^5a=2^{-5}(e^{ia}+e^{-ia})^5$

Posté par re : Linéariser cos(5a) en fonction de cos(a) 24-12-16 à 13:10

ah moins que tu veuilles delineariser cos (5a) dans ce cas Tchebychev.

Posté par re : Linéariser cos(5a) en fonction de cos(a) 24-12-16 à 13:20

Bonjour,

Tout d'abord, écrire :

$cos(5a)=cos^5a$ est totalement faux !!
Par contre écrire :

$cos^5a=(\frac{e^{ia}+e^{-ia}}{2})^5=...$ est correct.

D'ailleurs, je tiens à te souligner que tu as mal utilisé la formule d'Euler... c'est la fraction tout entière qui est élevée à la puissance 5 ! Et non seulement le numérateur...

Une autre méthode aurait été d'écrire que :

$cos(5a)=Re[(cos(a)+isin(a))^5]=cos^5(a)-10cos^3(a)sin²(a)+5cos(a)sin^4(a)$ (d'après la formule du binôme de Newton)

Et il t'est assez facile de savoir exprimer sin²(a) et sin⁴(a) en fonction de cos(a)...

Posté par re : Linéariser cos(5a) en fonction de cos(a) 24-12-16 à 13:22

euhh...
Je veux juste exrpimer cos(5a) en fonction de cos(a), je vais essayer la technique de Luzak.
Ensuite, si je comprends bien, je prend la partie réelle de $(cos(a)+isin(a))^{5}$
dévelopée

Posté par re : Linéariser cos(5a) en fonction de cos(a) 24-12-16 à 13:25

Oui, c'est d'ailleurs exactement ce dont je te suggère !!! Voir mon post précédent...

(Un petit bonjour à Luzak au passage en souhaitant de bonnes fêtes... )

Et comme dit plus tôt, il ne te reste qu'à exprimer sin²(a) et sin⁴(a) en fonction de cos(a).