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linéarité de l'intégrale
Bonjour, pourriez-vous m'aider à faire cet exercice svp
je n'ai pas vraiment de cours qui correspond à ça pour l'instant...
Soit f la fonction définie sur ]0; +
] par f(x)= x²+4x+1/ x²+x
1. Démontrer que f(x)= 1 + 1/x + 2/x+1
2. En déduire la valeur de I=
de 1 à e-1 f(x) dx.
1)
1 + 1/x + 2/(x+1)
= [x(x+1) + (x+1) + 2x]/(x(x+1))
= (x² + x + x + 1 + 2x)/(x²+x)
= (x² + 4x+1)/(x²+x)
Il faut apprendre à mettre les parenthèses pour éviter les ambiguités.
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2)
f(x) = (x² + 4x+1)/(x²+x)
f(x) = 1 + 1/x + 2/(x+1)
Et donc une primitive est : F(x) = x + ln|x| + 2.ln|x+1|
S (de 1 à e^-1) f(x) dx = 1/e + ln|1/e| + 2.ln|(1/e)+1| - 1 - ln|1| - 2.ln|2|
S (de 1 à e^-1) f(x) dx = 1/e - 1 + 2.ln|(e+1)/e| - 1 - 0 - 2.ln(2)
S (de 1 à e^-1) f(x) dx = 1/e - 1 + 2.ln(e+1) - 2 - 1 - 0 - 2.ln(2)
S (de 1 à e^-1) f(x) dx = 1/e - 4 + 2.ln(e+1)- 2.ln(2)
S (de 1 à e^-1) f(x) dx = 1/e - 4 + 2.ln((e+1)/2)
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Sauf distraction. 
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