Bonjour à tous. Quelqu'un peut il avoir la gentillesse de vérifier si la démonstration ci-dessous est correcte surtout le paragraphe 9. Merci beaucoup à celui qui acceptera de prendre le temps.





f(xy)  =  f(x) + f(y)

Considérons toutes les fonctions qui transforment un produit en somme.
Nous savons que la fonction logarithme répond à cette condition. Est-elle la seule?
Explorons l'ensemble des fonctions réelles f(x) définies sur R telles que, quels que soient x et y appartenant à R, f(x) existe, f(y) existe et f(xy) existe.
Considérons la condition f(xy)= f(x) + f(y). (condition A)
Recherchons toutes les fonctions qui répondent à cette condition.
  f(x)=0 est solution, mais c'est une solution triviale qui n'apporte rien
car f(x)= 0 est la fonction identiquement nulle, c'est-à-dire que quel que soit x € R on a f(x) = 0.

1/ Existe-t-il au moins un réel a tel que f(a) ≠ 0 répondant à la condition A?
Si a = 0 on a f(0*y)= f(0) + f(y)

f(y) = 0 qui est la fonction identiquement nulle.
Donc pour que f réponde à la condition A, a doit être ≠ 0.
Ceci implique que  0 n'a pas d'image : supposons que 0 a une image, c'est-à-dire que f(0) existe.
Supposons  f(0)=b. si f(0)=b alors f(a) = 0 car f(0*a) = f(0) + f(a). Par conséquent Si 0 a une image alors f(x) =0 quel que soit x appartenant à R, cas que l'on a écarté. Donc f(0) = b est une hypothèse fausse. Donc 0 n'a pas d'image.

2/ montrer que f( xn ) = n f(x) (relation B)
Par récurrence :
Pour n=1 on a f(xn) = f(x1)=1*f(x)
Pour n=2, f(x2)= f(x) +f(x)= 2f(x),
Pour n = 3, f(x3)= f(x2)+f(x)= 2f(x)+f(x)= 3f(x).
Admettons la relation (B) vraie pour la puissance n-1
Alors f(xn)= f((xn-1)+ f(x) = (n-1)f(x) + f(x) = n f(x)
D'où f(xn)= nf(x)

3 / montrer que si f(1) existe, f(1) = 0
f(a) = f(a*1)= f(a) + f(1)

f(1) = 0
Donc, à ce stade de la démonstration, 0 n'a pas d'image et, si 1 a une image, la fonction s'annule en 1.

4/ montrer que si 1  et -1 ont une image, f(1) = f(-1)
Et que si b et -b ont une image, f(b) = f(-b)
f(-1*-1)= 2f(-1)= f(12) = 2f(1)

f(1) = f(-1)
de même, f(-b*-b) = f(-b) + f(-b) = f(b2)= 2f(b)

f(-b) = f(b) avec b≠0
si la fonction f répond à la condition A et est définie sur ]0, +

[ alors il existe une fonction h paire, définie sur

*, telle que pour tout x différent de 0 , f(x) = h(x)
donc les solutions, si elles existent,  sont des fonctions paires a priori définies sur R*

5/ Montrer que si f est solution, alors que quel que soit K € R, la fonction h = kf est solution
Si f(x) est dé finie sur ]0, + ∞[ , est continue et dérivable alors h(x) =  kf(x) l'est aussi.
Par ailleurs, si f(x) vérifie f(xy) = f(x) + f(y) alors h(xy) = k (f(x) +f(y)) = kf(x) +kf(y) = h(x) + h(y)
Donc h(x) vérifie aussi la condition A.
Toutes les fonctions f(x) qui sont solutions sont donc proportionnelles entre elles.

6/ Soit Ga (x) = f(ax)-f(x) montrer que Ga (x) est une constante, déterminer son expression, et montrer que f(x), si elle est définie, est continue.
Ga(x)= f(ax) - f(x) = f(a)+f(x) - f(x)= f(a) ce que l'on déduit directement de f(ax) = f(x) + f(a)
De même, f(ax) - f(a) = f(x). Si on veut démontrer la continuité de f(x), c'est-à-dire  que f(x)→f(a) quand x→a, réel strictement positif, on s'intéresse  au terme gauche de l'égalité qui est égal à f(x) : f(ax)-f(a).
Quand x→a , f(ax) - f(a) →f(a2)-f(a) = 2f(a) - f(a) = f(a).
  
7/ Montrer que si f' est la fonction dérivée de f, il existe une constante k, dont on précisera la valeur, telle que f'(x)= k/x
Dérivons f(ax)-f(x) par rapport à x : on obtient af'(ax) - f'(x) =0
Donnons à x la valeur 1 dans cette égalité : af'(a) - f'(1)= 0 soit f'(a)= f'(1)/a
La dérivée est donc de la forme f'(x) = k/x avec  k= f'(1).
8/ propriété réciproque : soit une fonction u définie sur R+, continue, dérivable, et vérifiant la condition B suivante :
U(1) = 0
U'(x) = k/x

Montrer que la fonction u vérifie aussi la condition A.
U(xy) = u(x) + u(y)
Dérivons les deux termes de cette égalité par rapport à x, soit u(xy)'=( u(x) + u(y))' :
yu'(xy)= k/x
y*k/xy = k/x
k/x = k/x
les dérivées de ces deux fonctions sont égales donc leurs primitives sont égales à une constante près (les graphes de leurs fonctions primitives sont parallèles).
Comme elles prennent la même valeur en 1, elles sont égales en tout point.
La fonction U, si elle vérifie la condition B, vérifie également donc la condition A.


A l'issue de cet exercice, on a montré que les fonctions f qui vérifient la condition A, qui sont définies, sont non nulles, continues et dérivables sur R+ ont une dérivée de la forme k/x, sont proportionnelles entre elles, et s'annulent en 1 .

Ces fonctions vérifient toutes les propriétés des fonctions logarithmes ( comme démontré ci-dessus): le nombre réel positif b dont l'image est 1, si cette image existe, est appelé base de cette fonction spécifique. Il existe une infinité de bases , autant de bases, et donc de fonctions de cette famille, que de nombres réels positifs.


9/  montrer que f(x) est définie et dérivable  sur  ]0, + ∞] (nous avons déjà montré qu'elle est continue et dérivable, dès lors qu'elle est définie, sur cet intervalle).

Si l'image des fonctions de cette famille existe pour un antécédent donné, cette image correspond donc à la puissance à laquelle il faut élever la base spécifique à la fonction pour obtenir l'antécédent.
si la base est a alors f(a) = 1
a²×a⁴ = a(²+⁴) = a⁶ ==> 6 est l'image de a² × a⁴ car f(a²a⁴)= f(a²)+f(a⁴)= 2f(a) + 4f(a)= 6 f(a) = 6
a⁰ = 1 ==> 0 est image de 1 soit f(1) = 0
On peut donc écrire y= f(x) <===> x = a^y qui est la réciproque de y= f(x) avec y€ R et x € de R+. Cette fonction est la fonction exponentielle de base a qui est définie sur R+ et à valeurs dans R. On sait que sa réciproque est la fonction logarithme et que son ensemble de définition est R+. Donc f(x) = log(x) est définie sur R+