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Logarithme avec changement de base

Posté par
Phoenix08 13-07-23 à 11:29

Bonjour,
je prépare un concours dans lequel il m'est demandé de travailler des logarithmes avec des sortes d'indices, or je n'ai jamais eu de cours sur ces types de logarithme bien que je sais manipuler les log decimaux "normaux", en faisant des recherches je pense que cela s'appelle un changement de base.

Est-ce que quelqu'un pourrait me dire si c'est bien le cas et si oui quelle est la méthodologie pour le résoudre svp?

L'énoncé est le suivant :
Quel est l'ensemble S des solutions réelles de l'équation : 16puissance x  - 5 . 4 puissance x  - 6 = 0, où l'inconnue x est un nombre réel ?
(L'énoncé est sur la photo au cas ou)

Je vous remercie par avance pour votre aide

Logarithme avec changement de base

Posté par
Pirhore : Logarithme avec changement de base 13-07-23 à 11:35

Bonjour,

tu peux remplacer \large 16^x par 4^{2\,x}

Posté par
Phoenix08re : Logarithme avec changement de base 13-07-23 à 11:54

De ce fait, j'ai [ 4²x -5][4x -6] = 0 et en résolvant l'équation j'obtient deux solutions :
x1 = 5/16
x2 = 3/2
mais aucune de ces racines ne correspond aux solutions, je ne comprend pas comment les transformer en log ?

Posté par
Pirhore : Logarithme avec changement de base 13-07-23 à 11:59

tu t'es trompé

Citation :
[ 4²x -5][4x -6] = 0
est faux!

si on pose X=4^x, l'équation devient X^2-5X-6=0 qui ne donne pas les solutions que tu trouves

Posté par
Phoenix08re : Logarithme avec changement de base 13-07-23 à 12:17

Je ne comprend pas comment tu trouves cette équation car on a une multiplication entre le -5 et le 4, n'est-ce pas? (il y a une sorte de point comme dans le calcul vectoriel)
Donc en le prenant en compte, je trouve (X² -5) (X- 6) = 0 ce qui me parait faux également...

Sinon en utilisant ton équation je trouve x1 = 1 et x2 = 6 mais aucune réponse ne correspond?

Posté par
Pirhore : Logarithme avec changement de base 13-07-23 à 12:29

ton erreur vient d'ici

4²x  n'est pas égal à 16^x;  16^x=(4^2)^x=(4^x)^2

Citation :
Sinon en utilisant ton équation je trouve x1 = 1 et x2 = 6 mais aucune réponse ne correspond?


ce n'est pas x1=-1 mais X1=-1, idem pour x2=6 au lieu de X2=6

ensuite il faut passer par les logarithmes

Posté par
Pirhore : Logarithme avec changement de base 13-07-23 à 12:39

16puissance x  - 5 . 4 puissance x  - 6 = 0

devient 4^{2x}-5\times 4^x-6=0

ou X^2-5X-6=0

Posté par
Phoenix08re : Logarithme avec changement de base 13-07-23 à 12:45

ahhh d'accord j'ai compris pour l'équation merci beaucoup, j'ai juste une dernière question sur comment on passe au logarithme ?
j'ai essayer de remplacer les valeurs dans l'equation de départ, ce qui me donne :
6 - 5. (4puissance -1) -6 = 0
6-(20 puissance-1)-6=0
-(20puissance -1) =0
je ne sais pas exactement si c'est ce qu'il faut faire

Posté par
Pirhore : Logarithme avec changement de base 13-07-23 à 12:54

tu as 4^x=6 et 4^x=-1

ensuite tu passes au logarithme; est-ce possible dans les 2 cas?

Posté par
Phoenix08re : Logarithme avec changement de base 13-07-23 à 12:56

Ahh du coup non, uniquement avec 4puissance x = 6

Posté par
Pirhore : Logarithme avec changement de base 13-07-23 à 13:02

oui ; donc tu procèdes comme si tu devais résoudre, par exemple 2^x=10 à l'aide des logarithmes à base 10 mais ici tu travailles en base 4

Posté par
Phoenix08re : Logarithme avec changement de base 13-07-23 à 13:02

Je suis désolé je comprend toujours pas comment on passe en logarithme...

Posté par
Phoenix08re : Logarithme avec changement de base 13-07-23 à 13:04

Ahhh d'accord, c'est bon j'ai compris un grand merci pour ton aide!

Posté par
Pirhore : Logarithme avec changement de base 13-07-23 à 13:06

de rien, et quel choix as-tu trouvé?


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