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logarithme népérien
Bonjour
Soit g. La fonction définie sur ]0,+infini [ par :
g(x)=x-1+2ln(x)
a/ étudier le sens de variation de g
b/ calculer g(1) puis déterminer le signe de g(x) sur ]0,+infini[
C) en déduire que
Si o<x<1, g(
)>0 et si x>1, alors g(1/x)<0
2/ soit la fonction f définie sur ]0,+infini[ par{ f(x)=
, f(0)=0}
a/ démontrer que f est dérivable en 0 .
b/ démontrer que, pour tout x appartement] 0,+infini[ , f'(x)=x*g(1/x)
C/ dresser le tableau de variation de f
d/ démontrer que l équation f(x)=0 admet dans]0,+infini[ une solution unique a et que 1,75<a<2
3/a/ vérifier que la demi tangente (∆) a la courbe Cf au point O a pour équation y=x
b/ étudier la position de Cf par rapport a (∆)
C/ tracer (∆) , et Cf (dans le repéré orthonormé unité 2 cm)
Question 1a
g'(x)=(x-1+2ln(x) )'
g'(x)=1+2*1/x
g'(x)=(x+2)/(x)
Pour x>0 , (x+2)/(x)>0
Donc g'(x)>0
Sens de variation
Sur ]0,+infini[ , g est strictement croissant
Question 1b
g(1)=1-1+2ln(1)
g(1)=0
x>0 , g(x)>0
Question _1/c
J ai besoin d aider
Bonjour,
Question 1b
g(1)=1-1+2ln(1)
g(1)=0
x>0 , g(x)>0
Histoire de VERIFIER ton résultat, as tu regarder la représentation graphique de la fonction g ?
Un résultat rectifié te permettra peut-être de poursuivre avec la 1c....
Au effet ,je n ai pas une calculatrice scientifique qui me permet de tracer cette fonction . est ce que je dois maintenant ?
Au effet ,je n ai pas une calculatrice scientifique qui me permet de tracer cette fonction . est ce que je dois maintenant ?
Phrase à rallonge que je ne comprends pas.
Si tu n'as pas de "calculatrice graphique " (tu te prives pour l'examen, d'un moyen fort pratique pour vérifier ou conjecturer tes réponses !) essaye ici avec un logiciel gratuit comme GEOGEBRA.
Ceci étant dit, ce que j'ai mis en rouge dans mon précédent message est faux.
Dans ton tableau de variation de la fonction g , tu as bien sûr mis ses limites aux bornes de son domaine de définition. Puis tu y as mis le point particulier A(1,0).
Dès lors le signe de g(x) est.... évident !!
Voici ma proposition
Sur ]0,+infini [ , g est strictement croissant . ce qui veut dire que
g(x)>0
Bien sûr que NON.
Regarde la représentation graphique que je t'ai donnée !
g est strictement croissante quand x varie de 0 à +oo
MAIS les valeurs de g(x) ne sont pas TOUJOURS des nombres positifs sur ]0;+oo[
Tu confonds sens de variation d'une fonction (croissante ou décroissante) et SIGNE de cette fonction (positive ou négative)...
As tu complété ton tableau de variation comme je te l'ai dit à 17h45 ?
Question 1c)
Il te faut mobiliser tous les résultats obtenus auparavant...
Quand x est compris entre 0 et 1, que peux tu dire de son inverse X = 1/x ?
Quand x est compris entre 1 et +oo, que peux tu dire de son inverse X=1/x ?
Déduis en ensuite le signe de g(1/x) ou g(X)...
Bôof !
Tu as du oublier de VERIFIER !
si 0<x<1
0<1/x<1
Essayons avec 1/5 qui est compris entre 0 et 1 : son inverse est.... ???
Est-il compris entre 0 et 1 comme tu l'affirmes ????
Je ne comprends rien dans ton avalanche de messages...
Réponds simplement à ma question :
Essayons avec 1/5 qui est compris entre 0 et 1 : son inverse est.... ???
1)
Voici ma proposition
x<1
1/x>1
g(1/x)>g(1) or g(1)=0
g(1/x)>0
Oui mais il faudrait que tu justifies le passage de (1/x)>1 à g(1/x)>g(1) . Quelle propriété de g utilises tu ?
2) Il te faut traiter maintenant le cas où x>1.....
Ben, j ai oublié cette propriété
Ta déduction est correcte parce que tu as démontré auparavant que la fonction g est CROISSANTE !!
Si x>1
1/x<1
g(1/x)<g(1) (idem) or g(1)=0
g(1/x)<0 oui
"Ben" parce que ce que tu as mis comme signe de g(1/x) est contradictoire avec ce que tu as trouvé auparavant !!
Question 2a
Calculons la limite de f en 0
Lim []= lim [
]=lim ( 1-xlnx)
Lim xln=0
Lim (1-xln)=1
Lim [ f(x)-f(0))/x]=1
Donc f est dérivable en 0
Question 2b
f'(x)=xg(1/x)
Calculons g(1/x)
g(1/x)=1/x-1+2ln(1/x)
g(1/x)=1/x-1-2ln(x)
f'(x)=[x-x^2ln(x)]'
f'(x)=1-[2x*lnx+x^2*1/x]
f'(x)=1-2x*lnx-x
f'(x)=x(1/x-2lnx-1)
f'(x)=x*g(1/x)
Sur l intervalle ]1,+infini[, f est strictement décroissant . donc elle réalisé une bijection de ]1,+infini[ vers ]-infini,1[ or 0 appartient]-infini,1[
Donc l équation admet f(x)=0 admet une solution unique a dans ]1,+infini[
Tu as montré que "a" est compris entre 1 et +oo.
Comment préciser la chose ? il te faut encadrer le nombre "a"
la courbe passe en 1,7 et aussi 2
Cette phrase n'a pas de sens
Une courbe passe éventuellement par un POINT mais pas par un NOMBRE, ce qui ne veut rien dire.
N'as tu jamais fait ce genre d'exercice ?
Il faut trouver un encadrement de "a" par exemple a 
[1;2] tel que quand x varie de 1 à 2 , alors f(x) change de SIGNE : pour passer d'une valeur f(x) positive à une valeur f(x) négative (cas d'une fonction strictement décroissante) nécessairement f(x) s'annule !
Regarde et essaye de COMPRENDRE la figure que je t'ai envoyée.....
[lien]
Dans ton énoncé on te donne un intervalle [1,75;2] donc il te faut vérifier que quand x varie de 1,75 à 2, la fonction passe bien d'une valeur positive f(1,75) = ???? à une valeur négative f(2) = ???? ... puisque f est décroissante.
f(1,75)=1,75-3,06ln(1,75)
f(1,75)=0,06
f(2)=2-4ln(2)
f(2)=-0,77
Comme f(1,75)*f(2) <0
Donc l équation f(x)=0 admet une solution unique a dans ]1,+infini[
f(1,75)=1,75-3,06ln(1,75)
f(1,75)=0,06
f(2)=2-4ln(2)
f(2)=-0,77
Comme f(1,75)*f(2) <0
Donc [dans ]1,+infini[] l équation f(x)=0 admet une solution unique a comprise entre 1,75 et 2
CQFD
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