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Logarithme népérien

Posté par
Samsco
09-05-20 à 19:40

Bonjour j'ai besoin de votre aide svp

Exercice :

Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1 et k le nombre de ses diviseurs premiers.

Démontrer que ln n =k.ln 2

Je ne vois pas comment faire

Posté par
LeHibou
re : Logarithme népérien 09-05-20 à 20:17

Bonsoir,

C'est faux, prenons un exemple :
n = 3x5 = 15, donc k = 2
ln(15) = 2ln(2) ?
Si oui, alors :
ln(15)-2ln(2) = 0
ln(15)-ln(2²) = 0
ln(15)-ln(4) = 0
ln(15/4) = 0
15/4 = 1
Heu...

Posté par
Samsco
re : Logarithme népérien 09-05-20 à 21:07

Toute mes excuses ,je me suis Trompé ,c'est une inégalité:

ln n ≥ k.ln 2

Posté par
LeHibou
re : Logarithme népérien 09-05-20 à 21:34

Alors là c'est assez facile :
soit n = a1 x a2 x ... x ak où les ai 1 i k sont les facteurs premiers de n, éventuellement égaux entre eux s'il y a des facteurs premiers multiples,
Alors :
ln(n) = ln(a1 x a2 x ... x ak)
= ln(a1) + ln(a2) +...+ ln(ak)
Mais tous les ai 1 i k sont premiers et donc 2
Je te laisse conclure.

Posté par
Kernelpanic
re : Logarithme népérien 09-05-20 à 21:34

Bonsoir,

tu peux utiliser la décomposition en éléments premiers puis trouver une minoration grossière grâce à elle, et jouer sur la croissance du logarithme népérien.

Posté par
Kernelpanic
re : Logarithme népérien 09-05-20 à 21:35

Oh bah je croyais que tu n'étais plus là LeHibou, toutes mes excuses ! (pourtant j'ai appuyé sur vérifier la présence de nouvelles réponses...)

Bonne soirée à vous deux

Posté par
LeHibou
re : Logarithme népérien 09-05-20 à 21:53

Pas de souci Kernelpanic, c'est vrai que je ne suis pas scotché derrière mon écran en permanence, je ne m'offusque jamais quand quelqu'un intervient dans un exercice où j'ai commencé à donner un coup de main... Bonne soirée à tous les deux !

Posté par
Samsco
re : Logarithme népérien 10-05-20 à 21:09

Bonsoir , j'ai pas compris
ai 1 ≤i ≤ k

Posté par
LeHibou
re : Logarithme népérien 10-05-20 à 21:34

Bonsoir,

C'est la notation traditionnelle pour désigner tous les ai pour i variant de 1 à k, donc a1, a2, ...ak

Posté par
Samsco
re : Logarithme népérien 11-05-20 à 14:02

LeHibou @ 09-05-2020 à 21:34

Alors là c'est assez facile :
soit n = a1 x a2 x ... x ak où les ai 1 i k sont les facteurs premiers de n, éventuellement égaux entre eux s'il y a des facteurs premiers multiples,
Alors :
ln(n) = ln(a1 x a2 x ... x ak)
= ln(a1) + ln(a2) +...+ ln(ak)
Mais tous les ai 1 i k sont premiers et donc 2
Je te laisse conclure.


Ce que je vois pour l'instant c'est que:
ln n≥ ln 2

Posté par
LeHibou
re : Logarithme népérien 11-05-20 à 14:42

Il y a k termes ln(2), d'où...

Posté par
Samsco
re : Logarithme népérien 11-05-20 à 14:50

Je suppose que la réponse est ln n ≥ k.ln 2
Mais je ne vois pas comment

Posté par
LeHibou
re : Logarithme népérien 11-05-20 à 18:11

Hé bien, ln(2)+ln(2)+...+ln(2) avec k termes =k. ln(2)

Posté par
Samsco
re : Logarithme népérien 11-05-20 à 19:55

Oui je vois

ln(a1)≥ ln 2
ln(a2) ≥ ln 2
ln (a3) ≥ ln 2.
... ln(ak) ≥ ln 2
ln n ≥ k.ln 2

Merci

Posté par
LeHibou
re : Logarithme népérien 11-05-20 à 21:03

Je t'en prie 😊



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