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Logarithme Neperien

Posté par
Nathangelus
12-10-20 à 19:56

Bonjour, je ne sais pas ce qu'il faut faire exactement et jusqu'où il faut aller dans cet exercice. L'énoncé est : Maximiser une aire. Dans un repère orthonormé, Cf est la courbe représentative de la fonction f définie sur [0;9] tel que f(x)=ln(10-x).  A est un point de la courbe Cf. B et C sont les projetés orthogonaux respectifs du point du point A sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées. Déterminer la position du point A de Cf pour que l'aire du rectangle OBAC soit maximum.

Il n'y a pas de question intermédiaire alors j'ai fait jusque là :

J'ai dérivé f(x) ---> f'(x)=(-1)/10-x (par fonction composée) donc la fonction est strictement négative sur I=[0:9] donc ln(10-x) est strictement décroissante sur I qui admet f(0) qui est le maximum local f(0)=ln(10-0)=ln(10). f(9) soit le minimum local de I f(9)=ln(10-9)=ln(1)=0.

Aire de OBAC = l*L avec l=OB et L=OC.

Voilà après je ne sais pas quoi faire. J'avais pensé que comme x=0 soit f(0) est le maximum local alors l'aire est maximale en 0....

Je vous remercie de votre aide.                                                            

Logarithme Neperien

Posté par
Yzz
re : Logarithme Neperien 12-10-20 à 20:01

Salut,

Citation :

J'avais pensé que comme x=0 soit f(0) est le maximum local alors l'aire est maximale en 0....
Mais avec x = 0, l'aire OBAC est nulle. C'est pas terrible, comme maximum    

En posant xA = xB = x, que vaut yA = yC ?

Posté par
Nathangelus
re : Logarithme Neperien 12-10-20 à 20:09

Yzz @ 12-10-2020 à 20:01

***citation inutile***


Cela nous donne f(Xb) = Ya

Posté par
Nathangelus
re : Logarithme Neperien 12-10-20 à 20:23

C'est sur que oui

Posté par
Yzz
re : Logarithme Neperien 12-10-20 à 20:43

En posant xA = xB = x, alors yA = yC = f(x) = ... ?

Posté par
Nathangelus
re : Logarithme Neperien 12-10-20 à 20:59

Yzz @ 12-10-2020 à 20:43

En posant xA = xB = x, alors yA = yC = f(x) = ... ?
Je ne sais pas..
Je dirai f(Xb) = Yc

Posté par
Nathangelus
re : Logarithme Neperien 12-10-20 à 21:02

Sur l'énoncé il n'y a pas de valeur ou de coordonnées pour les points

Posté par
sanantonio312
re : Logarithme Neperien 12-10-20 à 21:09

Bonjour,
En attendant Yzz,
Si A a comme abscisse x, que vaut son ordonnée ?
Que valent les côtés du rectangle?
Que vaut son aire?

Posté par
Nathangelus
re : Logarithme Neperien 12-10-20 à 21:16

1) je ne vois pas à part f(Xa)=Ya mais la valeur je ne sais pas.
Aire rectangle = L*l
Avec l=0B et L=0C

Posté par
sanantonio312
re : Logarithme Neperien 12-10-20 à 21:25

Que vaut OB?

Posté par
Nathangelus
re : Logarithme Neperien 12-10-20 à 21:33

OB vaut ....

Posté par
sanantonio312
re : Logarithme Neperien 12-10-20 à 21:34

Plus précisément, que valent OB et OC en fonction de x?

Posté par
Nathangelus
re : Logarithme Neperien 12-10-20 à 21:41

OB = Xb-Xo/Yb-Yo ? f(Xb)=0 ?

Posté par
sanantonio312
re : Logarithme Neperien 12-10-20 à 21:53

Comprends-tu cette question de Yzz

Yzz @ 12-10-2020 à 20:43

En posant xA = xB = x, alors yA = yC = f(x) = ... ?

Posté par
ZEDMAT
re : Logarithme Neperien 12-10-20 à 22:02

Bonsoir,

Nathan semble complètement bloqué et cherche des choses compliquées alors que la réponse est sous ses yeux...

Le point A est sur la courbe représentative de la fonction f définie par f(x) = ln(10-x)

Petite illustration animée...

Logarithme Neperien

Posté par
Nathangelus
re : Logarithme Neperien 12-10-20 à 22:03

Non a part que les abscisses de A et B et que les ordonnés de A et C sont en communs (les points)

Posté par
Nathangelus
re : Logarithme Neperien 12-10-20 à 22:09

Merci pour votre aide mais même avec ça je ne comprends pas....

Posté par
Nathangelus
re : Logarithme Neperien 12-10-20 à 22:28

Je suis perdu et ce qui apparement doit être sous mes yeux, j'ai vraiment l'impression que c'est ultra compliqué

Posté par
ZEDMAT
re : Logarithme Neperien 12-10-20 à 22:39

Si le point A est sur la courbe représentative de la fonction f définie par f(x) = ln(10-x), alors si l'abscisse de A est x alors son ordonnée est f(x)  donc aussi ln(10-x).

En posant xA = xB = x, alors yA = yC = f(x) = ... ?

Posté par
ZEDMAT
re : Logarithme Neperien 12-10-20 à 23:21

Toujours perdu ?

L'ordonnée de A est fonction de x et vaut ln(10-x) ! Tout.... simplement
L'aire du rectangle OBAC est aussi fonction de x et vaut :
       S(x) = L*l
                 = x*ln(10-x)
Il te faut étudier maintenant les variations de cette fonction S(x) suivant les valeurs de x donc sur l'intervalle [0;9]

Je te laisse essayer de faire cette étude....

Remarque :
Si tu regardes la figure animée, tu devrais voir comment varie l'aire S(x) quand x varie de 0 à 9 et tu peux graphiquement tracer le tableau de variation de l'aire. Essaye de le faire.
Cette approche graphique ne vaut pas démonstration mais peut te guider et te dire ce que ton étude des variations de S(x) DOIT te montrer.

Sans question intermédiaire, l'étude rigoureuse des variations de S n'est pas... immédiate.  Aide toi de la courbe représentative de S' .. cela te permettra de conjecturer son signe.

Fais déjà cela et dis nous ce que tu obtiens... on t'aidera pour la suite.

Bon courage et bonne nuit.

Posté par
Nathangelus
re : Logarithme Neperien 13-10-20 à 07:03

Pour étudier S(x) il faut que je la dérive ?

Posté par
Yzz
re : Logarithme Neperien 13-10-20 à 07:25

Oui bien sûr.

Posté par
Nathangelus
re : Logarithme Neperien 13-10-20 à 16:11

Rebonjour, j'ai donc dérivé S(x)=x*ln(10-x) par fonctions de produit tel que S'(x) = (ln(10-x)*9x)/10x. J'ai l'impression que cette fonction a comme courbe la même que f(x)=ln(10-x), en tout cas les variations sont les mêmes, strictement décroissante sur I=[0;9]

Posté par
ZEDMAT
re : Logarithme Neperien 13-10-20 à 16:21

Nathangelus @ 13-10-2020 à 16:11

j'ai donc dérivé S(x)=x*ln(10-x) par fonctions de produit tel que S'(x) = (ln(10-x)*9x)/10x.

Explique nous comment tu as pu obtenir cette dérivée.
S est un PRODUIT de fonctions dérivables et pas ce que tu as écrit


J'ai l'impression que cette fonction a comme courbe la même que f(x)=ln(10-x), en tout cas les variations sont les mêmes, strictement décroissante sur I=[0;9]
Quand tu auras la bonne fonction dérivée... on en reparlera

Posté par
Nathangelus
re : Logarithme Neperien 13-10-20 à 17:42

J'ai refait pour dériver f(x)=x*ln(10-x)

f'(x)=(uv)'(x) Avec u(x) = x --> u'(x)=1 et v(x)=ln(10-x) ---> v'(x)=(-1)/10x

Donc f'(x)=ln(10-x)-(1/10)

Posté par
Nathangelus
re : Logarithme Neperien 13-10-20 à 17:57

Non c'est S'(x)=ln(10-x)+(-x/10-x), Avec le graphique à la calculatrice je vois qu'au point 5.86, elle admet une racine mais comment la calculer en faisant S'(x)=0 ?

Posté par
Nathangelus
re : Logarithme Neperien 13-10-20 à 18:05

On peut faire un programme ?

Posté par
ZEDMAT
re : Logarithme Neperien 13-10-20 à 18:46

Citation :
S'(x)=ln(10-x)+(-x/10-x),

Des parenthèses sont OBLIGATOIRES autour du dénominateur (10-x) (sinon c'est faux) d'où effectivement
S'(x)=ln(10-x)+(-x)/(10-x)
S'(x)=ln(10-x)-x/(10-x)

Dans la logique habituelle de l'étude des variations d'une fonction S,
* on calcule sa dérivée S'(x)
* on étudie le SIGNE de cette dérivée S'(x) suivant les valeurs de x
* on en déduit le sens de variation de S

Hélas l'étude du signe de S '(x) n'est pas possible avec les procédures usuelles  (j'aimerais que Yzz valide cette affirmation... merci à lui) et la résolution de S '(x) = 0, pose problème

Tu as eu une bonne idée de tracer la courbe représentative de S '(x) pour VOIR son signe et conjecturer son sens de variation. A ton avis quel est le tableau de variation de  la dérivée S' ?

Posté par
Nathangelus
re : Logarithme Neperien 13-10-20 à 18:51

Le tableau de signe est que sur I=[0;9], si on dit que f(a)=0 alors S'(x) est positive sur [0;a] et négative sur [a;9]. Les variations de S'(x) sont que S'(x) est strictement décroissante qui admet une limite en -infini en 9.

Posté par
ZEDMAT
re : Logarithme Neperien 13-10-20 à 18:59

Citation :
S'(x) est strictement décroissante
oui mais que faudrait-il faire pour le DEMONTRER maintenant qu'on a conjecturé ce résultat ?

qui admet une limite en -infini en 9
Pourrais tu montrer ta courbe de S' et compléter son tableau de variation.

Posté par
Nathangelus
re : Logarithme Neperien 13-10-20 à 19:14

La fonction S'(x) semble strictement décroissante car, ln(10-x)>0, (x/10-x)>0 et donc soustraire deux nombres positifs fait que la courbe aura une pente qui se rapproche de 0.

Logarithme Neperien

Posté par
Nathangelus
re : Logarithme Neperien 13-10-20 à 19:20

Voici le tableau de variations de S'

Logarithme Neperien

Posté par
ZEDMAT
re : Logarithme Neperien 13-10-20 à 19:31

Citation :
La fonction S'(x) semble strictement décroissante
oui
car, ln(10-x)>0, (x/10-x)>0 et donc soustraire deux nombres positifs fait que la courbe aura une pente qui se rapproche de 0
Ta justification est assez folklorique.


Remarque la fonction S' n'est à étudier (comme S) que sur l'intervalle [0;9]
Tu en as tenu compte sur le tableau de variation de S'
Dans ce tableau manquent les valeurs aux bornes soit  S'(0) et S'(9). On approche du but.

Je repose ma question : comment DEMONTRER le sens de variation de la fonction S' ?

Posté par
Nathangelus
re : Logarithme Neperien 13-10-20 à 20:09

On a le droit de mettre S'(0) et S'(9) sur la flèche puis de mettre la valeur de S'(0)=....., normalement oui ? On démontre le sens de variation de S si on a la dérivée seconde, si S''(x)>0 sur un intervalle --> S'(x) est croissante sur ce même intervalle et si S''(x)<0 sur un intervalle alors S'(x) est décroissante sur cet intervalle. Mais sinon je ne vois pas, si on veut démontrer le sens de variation d'une fonction dérivée il faut le signe de sa dérivée seconde. Sinon je ne vois pas

Posté par
ZEDMAT
re : Logarithme Neperien 13-10-20 à 20:46

Citation :
si on veut démontrer le sens de variation d'une fonction dérivée il faut le signe de sa dérivée seconde


Excellente idée ! Fais le....

Posté par
ZEDMAT
re : Logarithme Neperien 13-10-20 à 20:57


Quand tu auras étudié le signe de la dérivée de S', tu auras démontré le sens de variation de la fonction S' sur l'intervalle [0;9].

Et alors..  ZÉRO est arrivé

Logarithme Neperien

Posté par
Nathangelus
re : Logarithme Neperien 13-10-20 à 21:05

Donc il faut que je fasse la dérivée seconde? Et comme on a S'(a)=0 alors en a, S''(a) admettra un extremum.

Posté par
ZEDMAT
re : Logarithme Neperien 13-10-20 à 21:42

Alors cette dérivée seconde ? Et l'étude de son signe ??

Posté par
Nathangelus
re : Logarithme Neperien 13-10-20 à 21:47

La dérivée seconde est compliqué, j'ai S''(x)=((10-x)^2*ln(10-x)+1+ln(10-x)*(10-x)+x)/(10-x)^2. Je ne trouve rien de concluant...

Posté par
ZEDMAT
re : Logarithme Neperien 13-10-20 à 21:59

Ta dérivée seconde est fausse... tu dois obtenir un quotient très simple !!

Posté par
ZEDMAT
re : Logarithme Neperien 13-10-20 à 22:03

Rappel :

S'(x)=ln(10-x)-x/(10-x)

          (u-v)' = u'-v'
u(x) = ln(10-x)  => u'(x) = ?
v(x) = x / (10-x) => v'(x) = ??

S''(x) = ???

Posté par
ZEDMAT
re : Logarithme Neperien 13-10-20 à 22:16

Où en es-tu ? Qu'as tu trouvé pour S ''(x) ?
Montre ce que tu as fait....

Dans 15 minutes, je me déconnecte.

Si on n'est pas arrivé à la fin... on verra la suite demain.

Posté par
Nathangelus
re : Logarithme Neperien 14-10-20 à 12:48

ZEDMAT @ 13-10-2020 à 22:03

Rappel :

S'(x)=ln(10-x)-x/(10-x)

          (u-v)' = u'-v'
u(x) = ln(10-x)  => u'(x) = ?
v(x) = x / (10-x) => v'(x) = ??

S''(x) = ???
Pourquoi c'est (u-v)'(x) et pas (u/v)'(x) ?

Posté par
Nathangelus
re : Logarithme Neperien 14-10-20 à 12:51

J'ai fait de la forme quotient, ça me semble logique car S'(x)=(ln(10-x)-x)/(10-x) u(x)=ln(10-x)-x et v(x)=10-x
u'(x)=1/(10-x) et v'(x)=-1

Posté par
Nathangelus
re : Logarithme Neperien 14-10-20 à 13:34

J'ai trouvé donc S''(x)=x/(10-x)²

Posté par
sanantonio312
re : Logarithme Neperien 14-10-20 à 14:39

Dans le calcul de la dérivée, sauf erreur, ln(10-x) n'est pas sur le dénominateur (10-x)

Ne pas confondre ln(10-x)-\dfrac{x}{10-x} et \dfrac{ln(10-x)-x}{10-x}

Posté par
ZEDMAT
re : Logarithme Neperien 14-10-20 à 14:48

Bonjour et merci à Sanantonio pour son intervention qui t'a bien montré où était ton problème.

C'est vrai que l'écriture en ligne des formules complique un peu la lecture à l'écran. Mais sur ton papier, tu n'aurais pas du commettre cette erreur d'autant que je t'avais mâché le travail :

Citation :
Rappel :

S'(x)=ln(10-x)-x/(10-x)

          (u-v)' = u'-v'
u(x) = ln(10-x)  => u'(x) = ?
v(x) = x / (10-x) => v'(x) = ??

S''(x) = ???

C'est vrai qu'avec Latex, on y voit plus clair

Posté par
sanantonio312
re : Logarithme Neperien 14-10-20 à 14:50

Bonjour ZEDMAT

Posté par
Nathangelus
re : Logarithme Neperien 14-10-20 à 15:13

Donc S''(x) est juste ?

Posté par
ZEDMAT
re : Logarithme Neperien 14-10-20 à 15:23

Hélas non.

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