Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Logarithmes
Bonjour, voici un exercice de mathématiques spécialité sur lequel je souhaiterais avoir une correction. Pouvez-vous m'aider?🤗
Énoncé - Questions - Réponses - [rouge]
.
.
.
On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0;10] par
On note f' la fonction dérivée de f sur l'intervalle [0;10].
1_Montrer que, pour tout réel x dans l'intervalle [0;10], on a
---> Pour tout réel x on a e−x>0
Donc pour tout réel x, 0,5+100e−x>0. La fonction f est dérivable sur l'intervalle [0;10].
Soit avec u = 0,5+100-x et u' = -100e-x
Donc,
On note f'' la fonction dérivée seconde de f sur l'intervalle [0;10].
Un logiciel de calcul formel fournit l'expression suivante de
2a_Montrer que, dans l'intervalle [0;10], l'inéquation 100e−x−0,5 
0 est équivalente à l'inéquation x 
−ln(0,005).
---> On a pour tout réel x : 100e−x−0,5 0
100e−x 0,5
e−x 0,005
−x ln(0,005)
x - ln(0,005)
2b_En déduire le tableau de signes de la fonction f'' sur l'intervalle [0;10].
---> Comme pour tout réel e−x>0, on en déduit que 100e−x>0 et que (0,5+100e−x)3>0.
Alors, sur l'intervalle [0;10] f''(x) est du même signe que 100e-x−0,5. D'où le tableau de signes de la fonction f'' sur l'intervalle [0;10] :
3_On appelle Cf la courbe représentative de f tracée dans un repère.Montrer, à l'aide de la question 2, que la courbe Cf admet un point d'inflexion noté I, dont on précisera la valeur exacte de l'abscisse.
---> La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour x=−ln(0,005) donc la courbe Cf admet un point d'inflexion d'abscisse −ln(0,005)=ln200.
4_En utilisant les résultats de la question 2, déterminer l'intervalle sur lequel la fonction f est concave.
---> La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde. Donc la fonction f est concave sur l'intervalle [ln200;10].
.
.
.
Merci d'avance🤗
Bonjour, voici un exercice de mathématiques spécialité sur lequel je souhaiterais avoir une correction. Pouvez-vous m'aider?🤗
Énoncé - Questions - Réponses - +1 annexe
.
.
.
Dans toute cette partie les températures seront exprimées en degrés Celsius, notés ° C. La COP21, conférence sur les changements climatiques des Nations Unies, a adopté le 12 décembre 2015 le premier accord universel sur le climat, appelé accord de Paris, signé par 195 pays. Cet accord confirme l'objectif, d'ici l'année 2100, que la température terrestre ne dépasse pas de plus de 2 ° C la température de l'année 1900.
Dans cette partie, on modélise, par la fonction f de la partie A, une évolution de température possible permettant d'atteindre l'objectif de l'accord de Paris.
La courbe représentative Cf de la fonction est tracée ci-dessous, et I est son point d'inflexion en x = -ln(0,005).
Sur l'axe des abscisses, l'année 1900 correspond à 0 et une unité représente 25 ans, donc l'année 1925 correspond à 1. Sur l'axe des ordonnées, on a représenté le nombre de degrés Celsius au-dessus de la température de 1900.
1a_Calculer f(10), en arrondissant le résultat au centième.
---> à 10-2 près
1b_En déduire qu'en 2150, avec ce modèle, l'objectif de l'accord de Paris sera respecté.
---> Pour tout réel x de l'intervalle [0;10], donc la fonction f est strictement croissante.
Par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle [0;10] on a f(x)f(10) soit f(x)<2. Avec ce modèle, jusqu'en 2150, la température terrestre ne dépasse pas de plus de 2 ° C la température de l'année 1900. Donc en 2150, avec ce modèle, l'objectif de l'accord de Paris sera respecté.
2a_En utilisant la partie A, déterminer l'année correspondant à l'abscisse du point I d'inflexion de la courbe Cf. Arrondir le résultat à l'unité.
---> 1900 − 25×ln(0,005) ≈ 2032,46. Arrondie à l'unité inférieur, l'année correspondant à l'abscisse du point I d'inflexion de la courbe Cf est 2032.
2b_Calculer, pour cette année-là, le nombre de degrés Celsius supplémentaires par rapport à 1900.
--->
Pour cette année-là, la température a augmenté de 1 ° C par rapport à la température de l'année 1900.
On appelle vitesse du réchauffement climatique la vitesse d'augmentation du nombre de degrés Celsius. On admet que, à partir de 1900, la vitesse du réchauffement climatique est modélisée par la fonction f'.
3a_Est-il vrai de dire qu'après 2033 la température terrestre diminuera ? Justifier la réponse.
---> C'est faux, car après modélisation de la courbe à la calculatrice, la fonction f est strictement croissante donc après 2033 la température terrestre augmentera.
3b_Est-il vrai de dire qu'après 2033 la vitesse du réchauffement climatique diminuera ? Justifier la réponse.
---> Les variations de la dérivée f' se déduisent du signe de la dérivée seconde f''.
Sur l'intervalle [−ln0,005 ; 10] la dérivée est décroissante donc après 2033 la vitesse du réchauffement climatique diminuera.
4_ Pour sauvegarder les îles menacées par la montée des eaux, la température terrestre ne doit pas dépasser de plus de 1,5 ° C la température de l'année 1900.
Déterminer l'année au cours de laquelle la température terrestre atteindra ce seuil, selon ce modèle.
---> On cherche pour f(x)1,5 :
Soit l'année du rang x=ln(600) est : 1900+25×ln(600)
2059,92 = 2059 arrondi à l'unité inférieur.
C'est au cours de l'année 2059 que la température terrestre dépassera de plus de 1,5 ° C la température de l'année 1900.
.
.
.
Merci d'avance🤗
*** message déplacé ***
Salut,
Tout cela me semble absolument parfait.
Juste à la dernière question : il me semble préférable de résoudre f(x) >= 1,5 (plutôt que f(x) <=1,5).
Ainsi, on trouve x >= ln(600) soit à partir de 2060
*** message déplacé ***
Bonjour carpediem, oui en effet c'est aussi un de mes postes, il s'agit d'un autre exercice essentiellement basé sur celui posté ci-dessus.
la FAQ du forum
Annuler
connectez vous