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Niveau Reprise d'études
Loi binomiale
Posté par Ibrwa
Bonjour à tout le monde,
Je bloque sur une question concernant la binomiale. Voici la question :
Citation :
On dispose de 5 litres d'une suspension qui contient en moyenne 800 germes par litre. Soit X la variable aléatoire ”nombre de germes contenus dans un prélèvement de 1 ml de cette suspension”.
1. Montrer, en détaillant les hypothèses, qu'on peut décrire par une loi binomiale la loi de probabilité suivie par cette variable aléatoire.
On dispose de 5 litres d'une suspension qui contient en moyenne 800 germes par litre. Soit X la variable aléatoire ”nombre de germes contenus dans un prélèvement de 1 ml de cette suspension”.
1. Montrer, en détaillant les hypothèses, qu'on peut décrire par une loi binomiale la loi de probabilité suivie par cette variable aléatoire.
Voici mon raisonnement: On a en moyenne 800 germes par litre donc 4000 germes pour les 5 litres. Il y'a donc 4000 germes sur une suspension de 5000 ml. Le taux de germes est donc de 4000/5000 soit 0.8. J'en conclut que la variable X suit une loi binomiale B(4000,0.8) mais a priori c'est faux.
Pourriez vous m'aider svp ?
Merci d'avance
salut
il y a 4000 germes pour les 5000 mL
le prélèvement de 1 mL peut donc contenir entre 0 et 4000 germes ... en théorie
donc X prend les valeurs entre 0 et 4000 ...
ce qui suit n'est que spéculation (raisonnable) :
l'expérience " choisir un germe au hasard" a donc deux issues :
il est présent ou non dans le prélèvement de ce 1 mL avec la probabilité 1/2 ...
ce me semble-t-il ...
Bonjour,
Je vous remercie d'avoir pris le temps de répondre à ma question. Je suis d'accord avec vous sur les valeurs de X de 0 à 4000. Votre suggestion de la valeur de p = 0.5 me paraît également plausible. Cependant à la question suivante on me demande d'approximer la loi binomiale par la loi de possion:
Citation :
Montrer que cette loi binomiale peut elle même être approchée par une loi de Poisson (plus couramment utilisée dans les problèmes de comptage de germes, en particulier dans les normes officielles relatives aux comptages de germes).
Montrer que cette loi binomiale peut elle même être approchée par une loi de Poisson (plus couramment utilisée dans les problèmes de comptage de germes, en particulier dans les normes officielles relatives aux comptages de germes).
Or les conditions d'approximations de la loi binomiale par la loi de possion sont:
- n > 30 (ok dans ce cas)
- p < 0.1 (pas OK ici)
- np <15 (??)
Du coup je bloque sur la valeur de p. Je vous remercie encore une fois
effectivement les conditions d'utilisation ne sont pas respectées ...
mais n étant très grand il serait intéressant de comparer les résultat entre binomiale et Poisson avec un tableur pour voir si la différence est significative ...
sinon adoptons une autre approche :
il y a 5000 fois 1 mL et donc pour chaque germe il y a 1/5000 chance d'être dans un mL donné
et alors la loi binomiale est B(4000, 1/5000)
cette fois ci on peut approximer sans pb ...
Re-bonjour,
Effectivement n étant très grand je pense qu'avec la loi des grands nombres il se peut que la différence ne soit pas significative.
Votre approche me paraît tout à fait logique. Je adopter cette approche et faire l'exercice en prenant p = 1/5000.
Merci beaucoup pour votre aide c'est super sympa.
Cordialement.
Bonjour
Pour moi c'est comme cela qu'il faut voir le pb:
D'après les hypothèses on s'attend en moyenne à ce qu'il y ait m=0.8 germes dans 1 ml.
Donc si p est la proba pour un germe donné soit dans le ml prélevé dit vérifier m=n p
c'est à dire que p=m/n=0.8/4000=1/5000.
X suit donc la Loi B(4000,1/5000).
Bonjour,
D'accord avec4000 et 1/5000 :
Il y a 4000 germes en tout dans la suspension de 5 litres. On peut les numéroter et on admet leur indépendance.
La probabilité de prendre le germe numéro 1 dans le prélèvement est 1/5000 (volume du prélèvement/volume total).
Idem pour chacun des autres germes.
Pour un germe donné, on considère qu'être présent dans le prélèvement est un succès.
c'est bien ce que je disais donc dans ma deuxième version ... 
je ne comprends pas cette phrase :
Citation :
Donc si p est la proba pour un germe donné soit dans le ml prélevé dit vérifier m=n p
Donc si p est la proba pour un germe donné soit dans le ml prélevé dit vérifier m=n p
Bonjour à tout le monde,
Je viens d'avoir le corrigé du prof. C'est bien une loi Binomiale (4000, 1/5000). Merci beaucoup pour vos réponses et de votre aide.
Bien à vous