Niveau école ingénieur

loi conditionnelle vecteur gaussien

Posté par
Witaek 24-03-22 à 21:10

Bonjour à tous.
Au cours d'un exercice sur la statistique bayesienne, je bloque à une question concernant la loi conditionnelle d'un vecteur gaussien.

Voici l'énoncé :

"On considère le centre d'un intervalle de rayon r connu. La "cible" D(, r) n'est pas directement observable, et on observe un lancer aléatoire X, X = + B où B est une variable aléatoire modélisant le bruit. On supposera B ~ N(0, ²)."

1) A partir du lancer X, proposer une méthode d'estimation du paramètre .

2) On sait, suite à un renseignement, que est proche de *. On modélise cette connaissance a priori en supposant que devient réalisation d'une variable aléatoire $\Theta$ avec $\Theta$ ~ N(*,²). On observe donc maintenant X = $\Theta$ + B où $\Theta$ et B sont indépendantes.

a) Montrer que le vecteur ( $\Theta$ , X) est gaussien et calculer ses paramètres.
b) Déduire la loi conditionnelle de $\Theta$ sachant X = $x$ notée $f_x(\theta)$ .

Questions faites :

1) à l'aide de la méthode des moments ou du max de vraisemblance on propose $\hat{\theta}$ = X

2) a) ( $\Theta$ , X) est gaussien car $\Theta$ et B indépendants.

b) C'est là que je bloque, je ne sais pas trop comment m'y prendre et je ne comprends rien à la correction.

On commence par dire L( $\Theta$ | X = x) = N( $m_x, \sigma_x^2$ ). (N c'est la loi normale).

Et après des choses comme çà sont posées sans explications et je ne sais pas trop d'où elles sortent :

$m_x = E [ \Theta | X = x ] = m_\Theta + \frac{\sigma_{X,\Theta}}{\sigma_X^2}(x - m_X)$

également : $E [\Theta | X ] = f(X) = aX+b$

et ensuite on résout pour a et b ce qui donne la loi cherchée, mais je ne comprends pas la démarche. Pourriez vous m'éclairer ?

Merci d'avance !