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Loi de désintégration
Bonjour,
La loi de désintégration des noyaux d'un corps radioactifs est la suivante :
Si N(t) est le nombre de noyaux présents à l'instant t, alors, pendant la durée , la variation
du nombre de noyaux est proportionnelle à N(t) et à
:
En faisant tendre le temps d'observation vers 0 et en supposant que la fonction N est dérivable on obtient et donc
Mon problème est le suivant :
On a obtenu la fonction qui donne le nombre de noyaux radioactifs à l'instant t.
Mais comment justifier a posteriori que c'est la "bonne fonction", étant donné que pour l'obtenir nous avons supposé que N était dérivable. On pourrait se demander "et si N n'était pas dérivable ?"
Merci.
Poser ce genre de question sur un site de Math n'est pas forcément le bon plan.
Il vaudrait mieux le faire sur le site de Physique.
Piqué sur Wiki :
La décroissance radioactive est la réduction du nombre de noyaux radioactifs (instables) dans un échantillon.
La décroissance radioactive se produit jusqu'à ce que tous les noyaux de l'échantillon soient stables.
Un radionucléide quelconque a autant de chances de se désintégrer à un moment donné qu'un autre radionucléide de la même espèce, et la désintégration ne dépend pas des conditions physico-chimiques dans lesquelles le nucléide se trouve.
En d'autres termes, la désintégration est régie par le hasard, et la loi de désintégration radioactive est une loi statistique.
Soit N(t) le nombre de radionucléides d'une espèce donnée présents dans un échantillon à un instant t quelconque.
Comme la probabilité de désintégration d'un quelconque de ces radionucléides ne dépend pas de la présence des autres radionucléides ni du milieu environnant, le nombre total de désintégrations dN pendant un bref intervalle de temps dt à l'instant t est proportionnel au nombre de radionucléides de même espèce N présents et à la durée dt de cet intervalle.
Sur cela, on ne peut pas "discuter", cette "loi" traduit ce qui a été observé.
La traduction des observations permet donc d'écrire dN = - k.N (avec k une constante)
Cette loi est "statistique", donc valable pour N grand ... mais peu importe.
Et donc N(t) = No.e^(-k.t)
Il n'y a pas à se poser de question sur le pourquoi.
Le Physicien observe ... et pond des "lois" qui collent avec ses observations.
Les lois expliquent donc "comment" cela se passe mais jamais le "pourquoi".
Je comprends ce que vous dîtes, j'ai juste tiqué sur "en supposant que N est dérivable" que j'ai retrouvé dans plusieurs exercices de maths sur la désintégration radioactive.
Je me demande si le raisonnement qui suit est valable :
On a donc
a une limite quand
tend vers 0 si et seulement si
en a une. Or la limite de
quand
tend vers 0 est
donc
a une limite finie quand
tend vers 0 qui vaut
donc
est dérivable au point
et
Pour faire plus simple :
Le taux d'accroissement de N au point t est qui converge vers
quand
tend vers 0. Donc N est dérivable au point t et son nombre dérivé N'(t) est égal à
Et donc exit le "en supposant que N est dérivable".
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