Niveau Reprise d'études

Loi de Poisson et quantité

Posté par
Olaeradrik 20-04-21 à 13:21

Bonjour,
je découvre les statistiques et l'exercice de fin de chapitre suivant me pose problème.
Toute aide est la bienvenue.

Un commerce reçoit N client par saison, avec N~Poi( $\lambda$ ). la probabilité qu'un client achète le produit est de p.
Le profit de chaque produit vendu est de x$. Chaque produit restant est entreposé pour la saison suivante à un coût de y$.

i) Soit X="nombre de client qui achète le produit" et Y="nombre de client qui ne l'achète pas". Ces deux variable sont elles indépendantes?

ii) Trouver n le nombre de produit stockés pour maximiser le profit moyen du commerce.

Pour la première question, il me semble que non elles ne le sont pas car on peut formuler Y tel que Y=N-X. Mais vu que X=N.p , Y=N-N.p je ne suis pas sûr.

Pour la seconde, j'ai supposé que le profit moyen par saison était égal à P = X.x - (n-X).y. Et donc il faudrait un nombre de produit égal à X.

Cependant cela me paraît léger et pas très mathématique ou rigoureux comme explication.
Par la suite l'exercice propose de résoudre ces problèmes avec des valeurs mais cela me semble plus important d'avoir les explications générales, surtout que vu que je découvre, comprendre est plus intéressant qu'avoir la réponse.

Merci beaucoup pour toute indication ou toute explication.
Bonne journée.

Posté par re : Loi de Poisson et quantité 20-04-21 à 13:26

salut

le nombre de clients qui achètent le produit dépend évidemment du nombre de clients se rendant dans la boutique durant la saison

une fois N fixé quelle est la loi de X ?

Posté par re : Loi de Poisson et quantité 20-04-21 à 17:08

Bonjour,

Il me semble que le profit pour la saison est

$nx$ si $X>n/p$ (tous les produits partent)

$pXx - (n-pX)y$ si $X\leq n/p$ (une partie des produits est invendue)..

Vu que tu connais la loi de $X$ , il ne te reste plus qu'à calculer l'espérance du profit de la saison en fonction de $n$ , puis à trouver le $n$ qui maximise cette espérance.