Bonjour, voici le sujet, je suis bloqué à la question 4 et 5. Pour la 4, je pense qu'on peut montrer que la covariance nul mais je ne sais pas comment obtenir une matrice de (y1 , y2 , y3 ). Concernant la 5, je ne sais pas si il faudrait faire un changement de variable? Pouvez vous me donnez des indications svp?
Merci d'avance

Soit X = (x1 , x2 , x3 ) ∼ N (μ, Σ)une variable aléatoire gaussienne multivariée de moyenne μ ∈ R3 et de matrice de covariance Σ ∈ R3×3. Sa fonction de densité est fμ,Σ définie par:
fμ,Σ :
X→ (1/(√2π^3 √|Σ|) ) * exp(−1/2 QΣ (X−μ))
Ou la fonction QΣ : R3 -> R est définie par QΣ(X) = X^T Σ^−1 X

Soit P la matrice de passage orthogonale vérifiant: Σ = P T DP , ou D = diag(σ12, σ2, σ32).
1- Exprimer QΣ en fonction de P et de D et exprimer le déterminant |Σ| en fonction des σi2
2- soit Y = PX la variable aléatoire obtenue par la transformation linéaire P .
Montrer Y∼N(Pμ,D).
(i.e. vérifier que la fonction de densité de la variable aléatoire Y = (y1 , y2 , y3 ) vérifie:
f(Y ) = fμ,Σ(PX) = fPμ,D(Y )

On rappelle qu'une variable gaussienne y ∼ N (m, σ2) a pour fonction de densité:
fm,σ2(y)= (1/√2πσ)* exp ( (−1/2)*(y−m/σ)^2)
3- On note le vecteur P μ = (m1, m2, m3). Montrer que:
fP μ,D (Y ) = Π fmi ,σi^2 (yi )
(indication: vérifier d'abord que QD(X) = Σ(xi/σ)^2)

4- vérifier que les variables aléatoires (y1 , y2 , y3 ) sont indépendantes.
5- vérifier que yi ∼ N (mi, σ2).