Personne d'intéressée ? ! Je suis déçu !

ma démo n'est pas valable (pbm entre entier et réel) mais le principe y est

Salut,

en fait ta "démonstration" n'en est pas une; pourtant , elle est bien sentie.
Je m'explique: pour définir correctement une aire, il faut qu'elle vérifie la propriété d'union disjointe (pour que ce soit conforme à l'intuition).
Maintenant, il faut bien partir d'une définition d el'aire sur des ensembles "élémentaires" comme les carrés de côté 1, et, comme tu l'as vu, cela permet de définir celle des rectangles, quelles que soient leurs dimensions.
d'où la def : l'aire d'un carré de côté 1 est 1 (UA)
Si tu poursuis les mathématiques, tu t'apercevras qu'une question beaucoup plus
délicate est de savoir si, avec cette définition, on peut définir l'aire de quelque surface que ce soit, aussi biscornue soit elle, en la remplissant avec des rectangles de plus en plus petits afin de combler peu à peu les "trous".
Certains ensembles du plan, appelés boréliens, le sont, alors que d'autres ne le sont pas.
C'est la théorie de la mesure qui est le cadre plus général de ta question, et qui englobe tout ce qui correspond à l'intuition géométrique spatiale, et bien d'autres choses encore...

Tigweg

Je crois que cette fois c'est bon... Mais il doit y avoir bien plus simple.
Confirmez moi.
On a la relation A(k*x,y)=k*A(x,y) SEULEMENT pour k ENTIER NATUREL !

A(x+h,y)=A(h(1+x/h),y)
Soit N avec n tend vers +
Posons alors h=(1/N)*x
On a h tend vers 0 et 1+x/h entier naturel
D'où A(x+h,y)=(1+x/h)*A(h,y)
Or d'après notre lemme de départ, A(x+h,y)=A(x,y)+A(h,y)
On a alors A(x+h,y)=(1+x/h)*(A(x+h,y)-A(x,y))
D'où A(x+h,y)=A(x+h,y)+(x/h)A(x+h,y)-A(x,y)-(x/h)A(x,y)

Et donc [A(x+h,y)-A(x,y)]/h = A(x,y)/x
Comme h tend vers 0, on a : A(x,y)'(x)=A(x,y)/x

C'est à dire A(x,y)=ax

De plus, A(x,y)=A(y,x)
Donc on a aussi A(x,y)=by

On a donc finalement A(x,y)=cxy

Enfin, comme A(1,1)=1*1*c, on a c=A(1,1)

En définitive, on a donc A(x,y)=x*y*A(1,1)

Est-ce-que je délire ?

Cette démo en est une ?
Je me suis intéressé en remplir les carrés...
Je l'ai fait pour le triangle, même s'il y a bien plus simple, je l'ai fait pour le cercle (ca m'a même permis de calculer pi... !!!)
Et je me suis aussi amusé à calculer la longueur d'une courbe et j'ai trouvé si je me rappelle bien integrale de a à b de racine de 1-[f'(x)]²
Enfin bref.... Je m'amuse beaucoup en ce moement lol...
L'année prochaine je rentre en PCSI

Dis moi si tu pars te coucher que je n'attende pas ...

Ah beh t'es parti, c'est le site qui me le dit bonne nuit

Je ne sais pas pourquoi on m'a enlevé de expresso... Quelqu'un peut m'expliquer ce que veulent dire ces catégories ? Parce que j'y comprends plus rien

J'suis décu de ce forum... heureusement que j'en ai trouvé d'autres où les gens veulent parler
Mais c'est pas grave y'a quand mm des choses intéressantes ici

Salut,

ce passage n'est pas juste : "Et donc [A(x+h,y)-A(x,y)]/h = A(x,y)/x"
Tu dois remplacer le membre de droite par A(h,y)/h.
J'ai un peu de mal pourquoi tu cherches absolument à faire aparaître une dérivée, cela est hors propos (et tes calculs d'après ne sont pas rigoureux).
En fait si tu veux prouver que pour tout x réel on a A(x,1) = x UA
en te servant du fait que c'est vrai lorsque x est un entier, tu peux procéder de la façon suivante :

*Si x est le rationnel p/q on écrit A(p,1) = A(q*(p/q),1)= q.A(p/q,1)
puisque q est entier.
De plus A(p,1) = p donc :
A(p/q,1) = A(p,1)/q = p/q.

Cela prouve donc déjà que c'est encore vrai pour x rationnel.
Pour le prouver dans le cas général où x est réel tu as besoin d'autres résultats préalables:

*le premier c'est que Q est dense dans R, c'est -à-dire que pour tout x réel et tout a > 0 fixés il existe un rationnel p/q proche de x à moins de a, soit
|x - p/q| < a

*Le deuxième c'est que l'aire est d'un rectangle de côtés x et 1 est continue par rapport à x, c'est à dire que x étant fixé,
pour tout >0, on peut trouver
il existe a > 0 tel que pour tout y vérifiant |y-x| < a, on ait
|A(y,1) - A(x,1)| < .
(intuitivement: pour que les deux aires soient proches, il suffit que y soit choisi assez proche de x)

*Le troisième c'est l'inégalité triangulaire |a+b||a|+|b| pour tous réels a et b.

Muni de ces propriétés, soit x réel positif fixé, et soit
> 0.
D'après la deuxième propriété, il existe a > 0 vérifiant ce qui est écrit plus haut.On peut même supposer a < (ce qui est vrai pour a est encore vrai pour tout les a' < a)

Pour ce nombre a, on peut trouver p/q proche de x à moins de a, soit
|p/q - x| < a
On a alors, p/q étant rationnel: A(p/q,1) = p/q
De plus par définition de a on aura |A(x,1) - A(p/q,1)| < ,
d'où: |A(x,1) - p/q| < ,
et par inégalité triangulaire il vient:

|A(x,1) - x| = |(A(x,1)-p/q)+(p/q - x)|
|A(x,1)-p/q| + |p/q-x|
+ a
+
2

Or ceci étant vrai quel que soit le choix de > 0,
même très petit,on en déduit que |A(x,1) - x|=0,
c'est-à-dire que A(x,1) = x=xA(1,1) pour tout x réel positif.

Maintenant, si tu reprends toute cette démonstration en remplaçant tous les 1 de A(x,1) par A(x,y) avec y fixé > 0, tu constates que ça reste encore vrai.
Alors: A(x,y)= xA(1,y) = xA(y,1) = xyA(1,1) =xy UA.

Et voilà!
J'espère avoir pu répondre aux questions que tu te posais

Tigweg

Désolé pour les quelques fautes de frappe, j'espère que mon exposé reste compréhensible

J'suis décu de ce forum... heureusement que j'en ai trouvé d'autres où les gens veulent parler
Evite ce genre de remarques s'il te plait. Tigweg a pris beaucoup de son temps pour toi, et tu es aussi venu à des heures où il y'a moins de monde pour te répondre.
Pense également que ton message (comme celui de n'importe qui) n'est pas intéressant ou accessible à tous.
A+

Salut Otto

Ne t'inquiète pas pour ça, je pense que duchere était simplement impatient d'obtenir confirmation de ses résultats...De plus il a écrit cela avant que je ne lui réponde.
Personnellement, je trouve impressionnant de se poser de telles questions en Terminale...Il serait peut-être capable de nous inventer une nouvelle théorie de la mesure, qui sait?!

A plus et merci de ton commentaire, c'est sympa pour moi
Tigweg

Bonjour et désolé pour mes remarques d'ado rebelle
Pour l'erreur de calcul, j'ai refait le calcul et j'ai bien ca.... J'ai fait disparaitre A(h,y) juste avant en disant que A(x+h,y)=A(x,y)+A(h,y) D'où A(h,y)=A(x+h,y)-A(x,y)
et il me semble que c'est correct, non ?
Ensuite la démo avec p et q, j'y avais pensé au début et qqun me l'a donnée sur un forum mais ensuite ca demande trop de connaissance et c'est finalement plus long.... ?
Et puis des que j'ai des inégalités fonctionnelles, j'adore trouver la dérivée.... C'est mon trip.. Et ca marche quasiment toujours.... !
Voili voilo !!
Merci beaucoup !
Jean.

Tigweg, tu trahis l'ile des maths pour d'autres forums je vois...

Lol, je ne suis donc pas le seul !!
Mais je te rassure je n'ai aucun contrat d'exclusivité avec qui que ce soit!

Pour en revenir aux maths, "A(h,y)=A(x+h,y)-A(x,y)" est juste.
Ce qui ne l'était pas, c'était l'égalité "A(x+h,y)-A(x,y)]/h = A(x,y)/x"
Je crois que tu as juste interverti h et x dans la réponse, mais ça change tout pour le raisonnement qui suit.

Sinon je suis d'accord avec toi pour dire que la suite est plus ardue et exige plus de connaissances et de méthodes, mais, voyant que tu étais en Terminale, j'ai essayé de te rendre la chose le plus accessible possible...
J'espère que tu essayeras quand même de le comprendre!

A +

Oui et j'ai plutot compris...
J'vais reprendre la démo... Je comprends pas....
A(x+h,y)=A(h(1+x/h),y)
En faisant tendre h vers 0 de la maniere qu'on a dit, 1+x/h est entier naturel
D'où A(x+h,y)=(1+x/h)*A(h,y)
Or A(h,y)=A(x+h,y)-A(x,y)
On a donc finalement A(x+h,y)=(1+x/h)*[A(x+h,y)-A(x,y)]
D'où A(x+h,y)=A(x+h,y)-A(x,y)+(x/h)*[A(x+h,y)-A(x,y)]
D'où A(x,y)=(x/h)*[A(x+h,y)-A(x,y)]
C'est à dire [A(x+h,y)-A(x,y))]/h=A(x,y)/x
D'où le résultat final...
Ca me semble juste.... Non ?
Et puis disons que pour moi, c'est plus accessible...
Mais c'est vrai que ca fait un peu bourrin peut-être...
Jean

Salut,
si tu t'intéresse vraiment aux intégrales, je te conseille d'aller voir un cours de supérieur (maths sup ou fac notamment) qui traite du sujet. Notamment fait des recherchs au sujet de l'intégrale de Riemann et des approximations par des trapèzes.
Ca va surement t'intéresser et te faire remarquer que l'intégrale que tu utilises habituellement est "sâle" et qu'il en existe des plus intéressantes. Notamment l'intégrale de Lebesgue.

Tigweg>Oui la continuité j'avais oublié mais en fait, c'est assez évident, mais il faut le démontrer, je suis d'accord !

Otto> En effet, je m'y intéresse, et je trouvais aussi que ce qu'on appelle intégrale n'est qu'un cas particulier de somme infinie de de petites aires qui forment l'union d'une aire finale....
Mais bon... Je vais aller en prépa, et je pense qu'il ne faut pas vouloir aller trop vite... Je ne suis pas de ceux qui veulent lire des livres alors qu'ils ne maitrisent pas assez des choses plus triviales....
Je préfère approfondir à partir de théories simples....
Par exemple me demander comment trouver pi(la semaine derniere, j'ai trouvé une méthode "probabiliste me donnat finalement une integrale(je les adore)" ou bien comment calculer la longueur d'un arc de courbe (y'a 3 jours ?) ou bien démontrer que l'aire d'un carré de coté a est a², hier et aujourd'hui .. bref.... Voili voilo ! Merci... Et mm si je dis que je vais ps aller chercher Riemman je crois que je vais pas pouvoir m'en empecher... !!