Bonjour

Nicolas BOILEAU (1636-1711) a écrit :

"Ce que l'on conçoit bien s'énonce clairement".

Revenons aux MATHEMATIQUES.

Votre UNIQUE  phrase de CINQ lignes est incompréhensive, et de ce fait, il est difficile de donner une solution.

A vous lire pour plus de détail.

j'ai ecris trés vite... donc dans un exercice le voila: Le 1er janvier 2000, vous disposez d'un capital de 1000 e sur votre compte d'´epargne.
Vous d´ecidez que votre situation professionnelle vous permettra d'alimenter ce compte,
annuellement, d'un montant K `a partir du 1er janvier 2005, et ce pendant 5 ans. Quelle
doit ˆetre la valeur de K pour que le capital ainsi constitue se monte `a 50 000 e au 31
d´ecembre 2009 ? On considere que le taux d'interet annuel entre 2000 et 2009 est de 5%
dans la solution on calcul la valeur aquise(je crois) comme ca K((1, 05)^5 + (1, 05)^4 + (1, 05)^3 + (1, 05)^2 + (1, 05)).                le K est la valeur de versement chaque année alors que normalement la valeur aquise pour un remboursement (avec les meme années et interet c'est K((  (1, 05)^4 + (1, 05^)3 + (1, 05)^2 + (1, 05+1)).
c'est pas une contradiction ?
ps:c'est juste une partie de solution que j'ai mis (que j'ai pas compris)

aidez moi svp

Bonjour

Je me doute de "l'origine" de votre "CONTRADICTION".

La partie du problème que l'on va étudier est la suivante :
"Chaque année, et la première fois le 1er janvier 2005, on verse la somme de "K"euros.
Quelle doit être la valeur de "K" pour que le capital ainsi constitué se monte  50 000 € au
31 décembre 2009 ? On considère que le taux d'intérêt annuel entre 2000 et 2009 est de 5 %.

I - ANALYSE DU PROBLEME

Il s'agit d'un problème de mathématiques financières de capitalisation.
Il existe "plusieurs" systèmes de capitalisation.

A) ANALYSE DES ELEMENTS DE CAPITALISATION DE CE PROBLEME

1) Montant périodique de la capitalisation

Il s'agit d'une capitalisation avec des versements annuels d'un montant "K".


2) Taux d'intérêt

Le taux d'intérêt est de 5 % l'an soit 0,05 pour 1 par an.

3) Elèments de la capitalisation

a) Le premier versement a lieu de 1er JANVIER 2005 pendant 5 ans.

b) le capital total acquis est de 50 000,00   euros au 31 décembre 2009

c) Les  5 versements périodiques "K" ont donc lieu :

1)* le 1er janvier 2005 : montant "K" produisant des intérêts pendant 5 ans
2)* le 1er janvier 2006 : montant "K" produisant des intérêts pendant 4 ans
3)* le 1er janvier 2007 : montant "K" produisant des intérêts pendant 3 ans
4)* le 1er janvier 2008 : montant "K" produisant des intérêts pendant 2 ans
5)* le 1er janvier 2009 : montant "K" produisant des intérêts pendant 1 an

d) ATTENTION : Le dernier versement du 1er janvier 2009 produit des intérêts pendant 1 an

4) Capital acquis en fin de capitalisation

Le capital acquis le 31 décembre 2009 est de 50 000,00   euros.

5) Conclusion :

En mathématiques ce "type" de problème est appelé :

"CAPITALISATION PAR ANNUITES CONSTANTES DE PLACEMENT".

La définition est la suivante :

On appelle ANNUITE DE PLACEMENT, les annuités versées au début de chaque période de capitalisation
dans le but de se contituer un certain capital, UNE PERIODE APRES la date du dernier versement.

II - MISE EN EQUATION DU PROBLEME

Capital acquis par chacun des 5 versements = 50 000,00  

soit

K ( 1,05) ⁵ + K ( 1,05) ⁴ + K ( 1,05) ³ + K ( 1,05) ² + K ( 1,05) ¹  = 50 000,00  


III - RESOLUTION DE L'EQUATION

à faire


IV - RESOLUTION DU PROBLEME

à faire

V - LA SOLUTION RAPIDE de ce TYPE de PROBLEME

Il existe "UNE" formule de mathématiques financières pour résoudre ce type de problème.
Je vous laisse le soin de la trouver….

A suivre…….

Suite et……fin

REMARQUE IMPORTANTE :

Il ne faut pas confondre ce "type" de problème avec le problème de mathématiques financières suivant :

LES ANNUITES CONSTANTES DE CAPITALISATION.

La définition est la suivante :

On appelle ANNUITE CONSTANTE DE CAPITALISATION, les annuités versées au début de chaque période de capitalisation
dans le but de se contituer un certain capital, AU MOMENT DU DERNIER VERSEMENT.

(Dans ce cas le DERNIER VERSEMENT n'a pas d'intérêt.)

Il s'agit de résoudre le probleme suivant :


"Chaque année, et la première fois le 1er janvier 2005, on verse la somme de "K"euros.
Quelle doit être la valeur de K pour que le capital ainsi constitué se monte  50 000 € au
1er Janvier 2009 ? On considère que le taux d'intérêt annuel entre 2000 et 2009 est de 5 %.

I - ANALYSE DU PROBLEME

Il s'agit d'un problème de mathématiques financières de capitalisation.
Il existe "plusieurs" systèmes de capitalisation.

A) ANALYSE DES ELEMENTS DE CAPITALISATION DE CE PROBLEME

1) Montant périodique de la capitalisation

Il s'agit d'une capitalisation avec des versements annuels d'un montant "K".


2) Taux d'intérêt

Le taux d'intérêt est de 5 % l'an soit 0,05 pour 1 par an.

3) Elèments de la capitalisation

a) Le premier versement a lieu de 1er JANVIER 2005 pendant 5 ans.

b) le capital total acquis est de 50 000,00   euros au 1er janvier  2009

c) Les  5 versements périodiques "K" ont donc lieu :

1)* le 1er janvier 2005 : montant "K" produisant des intérêts pendant 4 ans
2)* le 1er janvier 2006 : montant "K" produisant des intérêts pendant 3 ans
3)* le 1er janvier 2007 : montant "K" produisant des intérêts pendant 2 ans
4)* le 1er janvier 2008 : montant "K" produisant des intérêts pendant 1 ans
5)* le 1er janvier 2009 : montant "K" produisant des intérêts pendant zero année

d) ATTENTION : Le dernier versement du 1er janvier 2009 produit des intérêts pendant ZERO année : le montant des intérêts est égal à zéro.

4) Capital acquis en fin de capitalisation

Le capital acquis le 1er janvier 2009 est de 50 000,00   euros.

5) Conclusion :

En mathématiques ce "type" de problème est appelé :

"CAPITALISATION PAR ANNUITES CONSTANTES DE CAPITALISATION".


II - MISE EN EQUATION DU PROBLEME

Capital acquis par chacun des 5 versements = 50 000,00  

soit

K ( 1,05) ⁴ + K ( 1,05) ³ + K ( 1,05) ² + K ( 1,05) ¹   + K =   50 000,00  


III -  RESOLUTION DE L'EQUATION

à faire


IV -  RESOLUTION DU PROBLEME

à faire

V - LA SOLUTION RAPIDE de ce TYPE de PROBLEME

Il existe "UNE" formule de mathématiques financières pour résoudre ce type de problème.
Je vous laisse le soin de la trouver….


FIN

merci pour cette réponse claire mais cette exercice me rend confus alos que c'est le meme raisonnement que le 1 er    :une personne emprunte 50 000 au debut d'une année et compte rembourser en versant 5 fois des sommes egales a la fin de chaque année taux d'interet 15%
dans la correction il y n'a pas d'interet la derniere année pourquoi ?

taux d'interet composé annuelement

I - ANALYSE DU PROBLEME

Il s'agit d'un problème de mathématiques financières de remboursement d'un emprunt.
Il existe "plusieurs" systèmes de remboursement d'un emprunt.

A) ANALYSE DES ELEMENTS DE CET EMPRUNT

1) Montant périodique de remboursement de l'emprunt

Il s'agit d'un emprunt remboursable par  des versements annuels constants d'un montant "A".


2) Taux d'intérêt

Le taux d'intérêt est de 15 % l'an soit 0,15 pour 1 par an.

3) Eléments de cet emprunt

a) Le premier versement a lieu le……………………………………..pendant 5 ans.

b) le capital emprunté est de .............................euros à la date du ……………………………………….

c) Les  5 remboursements  périodiques "A" ont donc lieu :

1)* le …………………………………………………………….. : montant "A" et la "VALEUR ACTUELLE" de ce versement est égale  à : ………………………………………..

2)* le …………………………………………………………….. : montant "A" et la "VALEUR ACTUELLE" de ce versement est égale  à : ………………………………………..

3)* le …………………………………………………………….. : montant "A" et la "VALEUR ACTUELLE" de ce versement est égale  à : ………………………………………..

4)* le …………………………………………………………….. : montant "A" et la "VALEUR ACTUELLE" de ce versement est égale  à : ………………………………………..

5)* le …………………………………………………………….. : montant "A" et la "VALEUR ACTUELLE" de ce versement est égale  à : ………………………………………..



d) Capital emprunté

Le capital emprunté, à l'origine, soit le……………………………... est de……………………………. Euros

5) Conclusion :

En mathématiques ce "type" de problème est appelé :

"REMBOURSEMENT D'UN EMPRUNT  PAR ANNUITES CONSTANTES DE FIN DE PERIODES".


II - MISE EN EQUATION DU PROBLEME

VALEUR ACTUELLE  de chacun des 5 versements = 50 000,00   euros

soit

…………………+ …………………+ …………………+ …………………+ ………………… = 50 000,00  

à faire

III - RESOLUTION DE L'EQUATION

à faire


IV - RESOLUTION DU PROBLEME

à faire

V - LA SOLUTION RAPIDE de ce TYPE de PROBLEME

Il existe "UNE" formule de mathématiques financières pour résoudre ce type de problème.

Je vous laisse le soin de la trouver….



A vous lire pour la solution de ce problème.

en gros si c'est un remboursement on utilise la valeur actuelle et si c'est un placement la la valeur futur c'est bien ca ?mais dans ce probléme on pourrais utiliser la valeur futur  a*1.15......+a*(1.15)^5=50 000*(1.15)^6 mais de cas on va multiplier le capital par le taux d'interet

Pour en être SUR et CERTAIN une seule méthode : FAIRE LA VERIFICATION .... de votre affirmation.

je ne pourrais pas faire les .... je suis sur mobile  je demande juste quand utilisé la valeur actuelle et la valeur a l'échéance

COMPARAISON : VALEUR ACTUELLE et VALEUR ACQUISE

NB : Vous utilisez le terme valeur à l'échéance il est préférable d'utiliser le terme VALEUR ACQUISE.

L'utilisation des notions de valeur actuelle ou de valeur acquise dépendent des éléments fournis dans l'énoncé du problème.

En mathématiques financières, à intérêts composés, on la relation suivante :

VALEUR ACQUISE = VALEUR ACTUELLE (1+i)ⁿ

avec :

i = taux périodique pour 1
n = nombre de périodes

Si dans un problème, l'énoncé fournit le taux périodique et le nombre de périodes on peut prendre  soit la valeur actuelle soit la valeur acquise et résoudre le problème en utilisation les "bonnes" formules de mathématiques financières.

je ne vois pas trop ce que vous voulez dire quelles sont ces formules ?

Soit un capital emprunte de 50 000 en remboursable en 5
paiements annuels d'un montant a constant, avec un inter etˆ
annuel de 5 %. Que vaut a ?
1. Valeur actuelle :
(a/1.05)....+a/(1.05)^5=50 000
2 valeur acquise
a(1.05^4....+1)=50 000 (1.05)^5
j'ai ca dans mes slides de cours
c'est sa la raison de mon confus ici
il multiplie le capital par l'interet alors que dans le 1 er probléme donné plus haut il multiplie pas par l'interet alors qu'il prend la valeur acquise

!!

Bonjour DOULA12

Pour commencer moi j'appelle un "chat" un "chat" et un "chien" un "chien"

Dans le PREMIER PROBLEME plus haut il est précisé :

"IL EST CONSTITUE UN CAPITAL DE 50 000 au...............................31 décembre 2009"

La somme de 50 000 constitue , à la date (finale) du 31 décembre 2009 un CAPITAL ACQUIS par définition.

Bonjour Douda12,

Je crois que les apparentes contradictions que vous ressentez et évoquez dans vos posts proviennent d'un défaut de maîtrise des notions les plus fondamentales de la théorie actuarielle (je ne vous jette pas la pierre ; l'enseignement de math fi que vous avez suivi comportait probablement de graves lacunes sur ce plan là, ce qui n'est pas rare.)
La résolution de ces apparentes contradictions se trouve dans une approche à la fois beaucoup plus générale et plus analytique de la notion d'équivalence des flux réciproques dans une opération financière à moyen ou long terme (OFMLT) dans laquelle s'applique la règle de composition de l'intérêt.

Pour le cas où la définition de la notion fondamentale d'équivalence des flux réciproques dans une telle opération vous ferait défaut, je rappelle que l'on dit en pareil cas que les flux réciproques sont équivalents lorsque leurs valeurs actualisées à une même date au moyen d'une même loi d'actualisation bien définie, sont égales.
On démontre que si le principe d'équivalence des flux réciproques est vérifié à une date quelconque, il l'est aussi à toutes les autres dates. Ce principe très fondamental reste vrai et demeure un guide infaillible de la réflexion même lorsque les OFMLT sont à taux variables dans le temps.

Les flux réciproques sont les flux financiers versés à l'autre partie respectivement par chacune des parties prenantes à l'opération. Ce sont donc des échanges financiers de sens contraires.
S'il s'agit d'une opération de placement, les sommes investies par l'épargnant constituent l'un des deux flux réciproques, et les sommes totales, intérêts compris, restituées au cours de l'opération par l'organisme ayant recueilli les fonds constituent l'autre flux.
Naturellement, dans une opération de crédit, le versement du prêt, ou de ses fractions successives, constitue l'un des flux réciproques, l'autre étant constitué par l'ensemble des échéances de remboursement.
Enfin, dans une opération d'investissement, les sommes investies constituent l'un des deux flux réciproques, et l'ensemble des sommes qui s'analysent comme des retours sur investissement constitueront l'autre flux.

La loi d'actualisation, quant à elle, est une autre notion tout aussi fondamentale de la théorie actuarielle (entendre par “théorie actuarielle” l'ensemble des éléments d'approche théorique des règles qui régissent les OFMLT). Cette loi mathématique d'actualisation peut revêtir des formes différentes (que je ne détaillerai pas afin de ne pas alourdir le présent post). Il vous suffit de savoir, à ce stade :
qu'elle est toujours, quelle que soit la forme qu'elle revêt, identifiable à une fonction exponentielle du temps
que, dans le cadre de votre exercice, elle est celle qui découle du paramètre d'actualisation vrai (PAV) le plus usuel, à savoir le taux actuariel (ou équivalent) annuel r, qui est indiqué comme étant de 5%.

Exprimée en fonction de ce dernier PAV, cette loi d'actualisation s'écrit sous la forme de la relation très générale suivante :
Kt = K0.(1+r)^((t-to)/L) (1)
dans laquelle r est le taux actuariel annuel (PAV) considéré, Kt la valeur actualisée à l'instant t du cash-flow, de l'encours ou du flux qui avait  pour valeur actuelle K0 à l'instant t0, et L est la durée d'une période annuelle.  Il est essentiel de connaître cette forme très générale de la loi d'actualisation écrite en fonction du taux actuariel annuel r, et de remarquer qu'elle ne préjuge en rien de l'ordre chronologique des instants t et to.
Si t est antérieur à to, l'exposant (t-to)/L du réel (1+r) est négatif, et on rejoint ici la notion, un peu réductrice, de “valeur actuelle”. Si t est postérieur à to, l'exposant (t-to)/L du réel (1+r) est positif, et on parle alors généralement de “valeur acquise ou future”.
Vous voyez donc bien que cette forme très générale de la loi d'actualisation transcende les notions traditionnelles un peu réductrices de “valeur actuelle” et “valeur acquise”, pour y substituer la notion, plus générale et plus analytique, de valeur actualisée à une date quelconque t.

Naturellement, la valeur actualisée à la date t (notée VAt) d'un flux constitué de plusieurs versements ponctuels successifs de montants quelconques, a1 ;a2 ;a3…ai…an, intervenant à des dates successives quelconques t1 ;t2 ;t3…ti…tn, non confondues (on parle alors de flux discret quelconque), est tout simplement la somme des valeurs actualisées à cette date t, de chacun des versements ponctuels a1 ;a2 ;a3…ai…an que comporte ce flux discret quelconque. Son expression mathématique est donc la suivante :


(2)


L étant ici encore la durée d'une période annuelle.

Ces quelques principes de base élémentaires mais souvent méconnus étant posés, il devient possible de passer du général au particulier en se penchant sur le cas d'espèce spécifié dans votre énoncé.

Dans ce cas particulier (taux actuariel annuel constant égal à 5%), la loi d'actualisation se résume à l'expression simplifiée :

Kt = K0.(1,05)^((t-to)/L) (3),
puisque le taux actuariel annuel est de 5%.

Les flux réciproques sont constitués :
Pour le premier, par les 5 versements d'épargne de montant constant K (à déterminer) intervenus du 1er-01-2005 au 1er-01-2009 inclus, sans oublier l'avoir initial de 1000€ détenu le 1-01-2000, dont la date d'incidence actuarielle est cette même date du 1-01-2000. (J'appellerai ce premier flux le “flux épargnant”)
Pour le second, par la somme de 50000€ potentiellement restituable le 31-12-2009 à l'épargnant par l'organisme ayant recueilli l'épargne. (J'appellerai ce second flux le “flux organisme de placement”) - Remarquer qu'il s'agit cette fois d'un flux ponctuel (un seul versement) et non plus d'un flux discret quelconque comme précédemment.

Durant l‘intervalle de temps que dure l'opération, (du 1-01-2000 au 31-12-2009 soit 10 années), la loi d'actualisation est uniforme, telle qu'écrite supra, notée (3).

En actualisant les deux flux à la date de fin de l'opération soit le 31-12-2009, choisie comme valeur de la date t, on obtient :
  - pour le second flux (“flux organisme de placement”), la valeur actualisée à cette date, notée VAtp :
VAtp = 50000€
pour le premier flux (“flux épargnant”), la valeur actualisée à cette date, notée Vate :



(4)

Cette expression est obtenue par la stricte application de la loi d'actualisation (2) mentionnée plus haut au cas particulier du “flux épargnant” de votre énoncé.
Le passage de (2) à (4) exploite la formule donnant la somme des 5 premier termes d'une suite en progression géométrique de raison et de premier terme connus. Si vous ne parvenez pas à reconstituer le passage de (2) à (4), signalez le moi ; je vous indiquerai alors le détail de la transformation, qui ne fait appel qu'à du calcul algébrique simple.

Le principe d'équivalence des flux réciproques, appliqué à la date t (31-12-2009) s'écrit :

VATp = VATe,  soit :




d'où l'on tire :



= 8337,10€

(Sauf distraction ou erreur de calcul)

Cordialement

Vertigo

Pour DOUDA12

VERTIGO a "TOUT" expliqué.......je ne pourrai pas faire mieux................

Bonjour,

Merci, Macontribution.

Cordialement à tous.

Vertigo