Niveau Licence Maths 1e ann

Mathématiques financières-taux d'intérêt

Posté par
Nic0 16-10-08 à 22:13

Bonjour,

Je rencontres des difficultés à comprendre un exercice dans le cadre d'un cours sur la valeur actualisée/cumulée des annuités. La solution nous est fournit, mais le résultat ne me parle pas du tout. Est-ce que vous pourrez éclairer ma lanterne? =)

"Un service de planification financière offre un programme d'épargne en vue des études universitaires. Le programme exige 6 versements annuels de 5 000$. Le premier versement doit être effectué aujourd'hui même, au douzième anniversaire de votre enfant.

A partir des 18ans de votre enfant, le programme verserait 15 000$ par année pendant 4ans.

Quel est le taux de rendement de cet investissement?"

La solution est: 14.52% mais je ne comprends pas pourquoi. Je supposes qu'on doit poser comme équation de départ que VAA(des 15000)=VCA(des 5000) mais lorsque j'essaie de développer je bloques.

Merci pour votre aide!

Posté par re : Mathématiques financières-taux d'intérêt 16-10-08 à 23:08

je ne connais pas les VAA ni les VCA mais je vais essayer d'expliquer comment ça se passe.

Notons $t$ le taux d'intérêt annuel.

L'année des 12 ans (année 0), notre crédit est de

$3$C_0 = 5000 \$$

Après 1 an, le capital est de $(1+t).C_0$ (intérêts inclus) auquel on  rajoute le second versement soit

$3$C_1 = 5000 + C_0(1+t) = 5000.$1+(1+t)$$

De même,

$3$C_2 = 5000 + C_1(1+t) = 5000.$1+(1+t)+(1+t)^2$=5000\frac {(1+t)^3-1}t$

tant qu'on effectue des versements c'est à dire jusqu'à la 6° année (année 5), on a ainsi un capital de

$3$C_5 = 5000 + C_{4}(1+t) = 5000.$1+(1+t)+(1+t)^2+\cdots+(1+t)^5$=5000\frac {(1+t)^{^6}-1}t$

Une fois ce capital atteint, on n'effectue plus de versements mais au contraire, on ponctionne chaque année $3$15000\$$ .

Le capital $C_6$ vaut ainsi

$3$C_6=(1+t)C_5-15000$ et ainsi de suite

$3$C_7=(1+t)C_6-15000=(1+t)^2.C_5-15000(1+(1+t))=(1+t)^2.C_5-15000.\frac {(1+t)^2-1}t$

et tu parviens après 10 ans à

$3$ C_9=(1+t)C_8-15000=(1+t)^4.C_5-15000.\frac {(1+t)^4-1}t$

           $3$ \red C_9=5000.\frac {(1+t)^{^6}-1}t(1+t)^4-15000.\frac {(1+t)^{^4}-1}t$

Il ne reste plus qu'à chercher la valeur de t qui annulera cette relation.

Posté par re : Mathématiques financières-taux d'intérêt 16-10-08 à 23:24

merci pour ta réponse!

Globalement, tu viens de découvrir les formules pour calculer une VAA et une VCA!

Les formules sont:
VAA=versement*(1-(1+t)^-n)/t
VCA=versement*((1+t)ⁿ+1)/t

avec t=taux d'intérêt et n=périodes

Posté par re : Mathématiques financières-taux d'intérêt 16-10-08 à 23:48

Ça ne me dit pas ce qu'est une VAA ni une VCA mais je sais ce qu'est un taux d'intérêt

Posté par re : Mathématiques financières-taux d'intérêt 17-10-08 à 00:04

VAA=Valeur Actualisée d'une Annuité (ou d'une suite de versements)
VCA=Valeur Cumulée d'une Annuité

Posté par re : Mathématiques financières-taux d'intérêt 17-10-08 à 00:16

merci

Posté par re : Mathématiques financières-taux d'intérêt 17-10-08 à 08:44

bonjour Nico
l'équation donnée par franz est bien celle qui permet de trouver le taux de rendement de cet investissement mais je reprends la dernière phrase de ton message de 20h13 que je vais appliquer:le taux cherché doit assurer l'équilibre entre les 6 versements de 5000$ et les 4 versements de 15000$;soit t le taux cherché et la date du 6ieme versement de 5000$ comme date d'évaluation, j'obtiens:
5000(1+t)^5+5000(1+t)^4+.....+5000=15000(1+t)^-1+15000(1+t)^-2+.....+15000(1+t)^-4
soit après simplification (voir ton cours)
5000[(1+t)^6 -1]/t =15000[1 -(1+t)^-4]/t
cette équation est bien celle de franz

Posté par re : Mathématiques financières-taux d'intérêt 17-10-08 à 09:06

je complète mon message
tu peux simplifier ton équation: on divise par 5000, multiplie par t (t>0) puis par (1+t)^4 et on obtient (1+t)^10 - 4*(1+t)^4 +3 =0
on montre que cette équation n'admet qu'une solution sur ]0; +[