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Niveau seconde
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Maths

Posté par
mamzelle-melane
28-11-12 à 15:38

Bonjour, j'ai vraiment besoin de vous, s'il vous plaît
Voici le sujet :
1. Démontrer que pour tout entier naturel n, racine carré de (n+1) - racine carré de (n) = 1/racine carré de n + racine carré de n+1

2. Déduire de ce résultat la valeur des sommes suivantes :

a) A= 1/1+racine carré (2) + 1/racine carré (2) + racine carré (3)+1/ racine carré (3) + racine carré (4)+ 1/racine carré (4)+racine carré (5)

b) B= 1/1+racine carré (2) + 1/ racine carré (2) + racine carré (3) + 1/racine carré (3)+racine carré (4) + ........ + 1/racine carré (998)+racine carré (999) + 1/racine carré (999)+racine carré (1000)

c) Pour le calcul de B, pouvait-on envisager d'utiliser la calculatrice ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Maths 28-11-12 à 16:07

Bonjour, pour le 1. multiplie haut et bas par la quantité conjuguée racine carré de n + racine carré de n+1
Puis utilise cette formule pour remplacer les termes et calculer A et B; Beaucoup de termes se simplifient.

Posté par
mamzelle-melane
Maths 28-11-12 à 16:16

Je vois pas comment faire..

Posté par
Glapion Moderateur
re : Maths 28-11-12 à 16:22

fait déjà ce que je t'ai proposé, qu'est-ce que ça donne de multiplier haut et bas par (n+1)+(n) ? remarque qu'au numérateur c'est de la forme (a+b)(a-b)

Posté par
SNUTILE
DENOMINATEUR SANS RACINE CARREE 28-11-12 à 16:27

Bonjour,
La formule utilisée est (a + b) ( a - b) = a² - b²
et l'équation le permet facilement, car le dénominateur de droite (l'ensemble) correspond bien à son - (moins à gauche) comme l'addition est commutative a + b = b + a.
  
     b
a = -  <=> a c = b
     c

A bientôt.

Posté par
mamzelle-melane
Maths 28-11-12 à 16:36

ça fait : 1 *  racine carré(n+1)+ racine carré(n)/ racine carré (n) + racine carré (n+1) * racine carré(n) + racine carré (n+1)   ??

Posté par
Glapion Moderateur
re : Maths 28-11-12 à 16:48

non. Franchement ça n'est pas bien compliqué

\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\dfrac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}

Posté par
mamzelle-melane
Maths 28-11-12 à 16:52

Bah j'suis désolée si je comprend pas...
Mais prof de math de prend pas de temps pour nous expliquer..

Pouvez-vous m'aider pour la suite ? :$

Posté par
Glapion Moderateur
re : Maths 28-11-12 à 16:56

je t'ai dit, réécris la somme des termes de A en utilisant la formule.

Posté par
mamzelle-melane
Maths 28-11-12 à 17:04

c'est : 1/racine carré n + racine carré n+1 = racine carré (n+1) - racine carré(n)
donc 1/1+racine carré 2 =

Posté par
Glapion Moderateur
re : Maths 28-11-12 à 17:08

réécris la somme des termes, pas juste un terme. Et effectivement tu remplaces chaque terme qui a la forme \dfrac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} par \sqrt{k+1}-\sqrt{k} (k variant de 1 à 4 pour A)

Posté par
mamzelle-melane
Maths 28-11-12 à 17:10

Je n'emmêle les pinceaux, je suis perdu..  

Posté par
Glapion Moderateur
re : Maths 28-11-12 à 17:21

Qu'est-ce que ça donne alors la somme
\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}} ? il n'y a rien de bien compliqué là dedans.
=(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+(\sqrt{5}-\sqrt{4})=... ? tu termines ?

Posté par
mamzelle-melane
Maths 28-11-12 à 17:28

= -1 + racine carré de 5   ??

Posté par
Glapion Moderateur
re : Maths 28-11-12 à 17:36

Posté par
mamzelle-melane
Maths 28-11-12 à 17:39

Posté par
mamzelle-melane
Maths 28-11-12 à 17:46

Par contre pour la suite j'en ai aucune idée

Posté par
Glapion Moderateur
re : Maths 28-11-12 à 17:51

tu plaisantes ? c'est exactement la même méthode pour B. Si tu as compris le procédé pour la A, ça ne devrait te poser aucun problème.

Posté par
mamzelle-melane
Maths 28-11-12 à 17:56

Bah pour le B y'as un trou...

Posté par
Glapion Moderateur
re : Maths 28-11-12 à 18:02

ça veut dire que l'on continue à écrire les termes jusqu'à n=999 (on allait pas écrire explicitement les 999 termes quand même).

Posté par
mamzelle-melane
Maths 28-11-12 à 18:18

Donc ça va faire : 1/racine carré2 + racine carré 1 + 1/racine carré 3 + racine carré 2 + 1/racine carré 4 + racine carré 3 + ... + 1/racine carré 999 + racine carré 998 + 1/racine carré 1000 + racine carré 999
= ( racine carré 2 - racine carré 1 ) + ( racine carré 3 - racine carré 2 ) + ( racine carré 4 - racine carré 3 ) + (racine carré 999 - racine carré 998 ) + ( racine carré 1000 - racine carré 999)
= 1.03     ???

Posté par
Glapion Moderateur
re : Maths 28-11-12 à 18:29

pourquoi 1.03 ?
non tu vois que tous les termes s'annulent sauf le dernier (100) et le premier 1 donc le résultat c'est 10-1=9

Posté par
SNUTILE
DEMONSTRER pour toute valeur de n 28-11-12 à 19:06

Bonjour,
Dans le post de Glapion à Posté le 28-11-12 à 16:48, il faut trouver la valeur de n par l'égalité qui doit être reécrit un membre à droite et un membre à gauche, pour mieux voir l'évidence
(n + 1) - n = 1
  n + 1 - n = 1
1 = 1 ce qui veut dire que quelque soit la valeur de n l'égalité est toujours vraie (cqfd)

A bientôt.

Posté par
mamzelle-melane
Maths 28-11-12 à 19:09

Glapion : Le reste est juste a part le 1.03 ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Maths 28-11-12 à 19:18

Oui mais il faut laisser au milieu entre ( racine carré 4 - racine carré 3 ) et (racine carré 999 - racine carré 998 ) un +...+ qui montre qu'entre les deux il y a tous les termes allant de 4 à 1000

@SNUTILE " il faut trouver la valeur de n par l'égalité qui doit être reécrit un membre à droite et un membre à gauche, pour mieux voir l'évidence"
Je ne comprends vraiment pas ce que tu veux dire

Posté par
mamzelle-melane
Maths 28-11-12 à 19:47

ensuite il y a : exercice 2 :
a) Développer réduire l'expression A = (n+1)² -n²

b) En déduire que tout nombre impair peut s'écrire comme la différence de deux carrés d'entiers naturels consécutifs.

c) Quels sont les deux entiers naturels consécutif dont 19 est la différence des carrés ?

d) Même question pour 375

e) Même question pour 40729


S'il vous plaît

Posté par
SNUTILE
re : Maths 28-11-12 à 19:48

Bonjour,
Pour la démonstration seulement, pour déduire l'écriture de l'équivalence de 1 / [racine d'un nombre + racine de ce nombre +1]
A bientôt.

Posté par
SNUTILE
re : Maths 28-11-12 à 19:51

Bonjour
Mon avant dernier message est pour Glapion.
A bientôt

Posté par
Glapion Moderateur
re : Maths 28-11-12 à 19:54

Rien de bien difficile. Tu as développé (n+1)² -n² ? et réfléchit un peu aux questions que l'on te pose ?

Posté par
mamzelle-melane
Maths 28-11-12 à 20:00

(n+1)² - n²
= (n² + 2 * n * 1 + 1² ) -n²
= 2n² * 1n + 12 - n
= 2n² + 12 - n²
= 2n² + 12  ??

Posté par
Glapion Moderateur
re : Maths 28-11-12 à 20:05

non n²-n² ça ne fait pas 2n²
(n² + 2n+ 1) -n² = 2n+1

Posté par
mamzelle-melane
Maths 28-11-12 à 20:23

Par contre, pour les questions suivantes je n'en ai aucune idée...

Posté par
Glapion Moderateur
re : Maths 28-11-12 à 21:40

b) En déduire que tout nombre impair peut s'écrire comme la différence de deux carrés d'entiers naturels consécutifs.
c'est évident puisque tout nombre impair s'écrit 2n+1 et que 2n+1=(n+1)²-n²

c) Quels sont les deux entiers naturels consécutif dont 19 est la différence des carrés ?
(n+1)²-n²=19 2n+1=19 pas très compliqué à résoudre, franchement !

Si tu as compris fait d) et e)



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