Bonjour

Quelle question n'arrives-tu pas à traiter?

Bonjour,
pour la 1) ça sent la diagonalisation de la matrice en question...ce qui veut dire polynome caracteristique,valeur propre puis sous-espaces propres,bases des sous-espaces propres puis écriture de ta matrice dans la base des vecteurs propres.
Aprés tu as une matrice diagonale et pour calculer J^n tu mettra alors les coefficients diagonaux à la puissance n...(je sais pas si on voit ça déja en sup...)

Pour là 1 tu peux commencer par faire les calculs par exemple jusqu'à , tu vas remarquer une périodicité des résultats.

non les sous espaces propres, bases des sous espaces propres on ne fait pas ça j'en ai juste entendu parlé en colle mais je ne sais pas comment il faut faire.
J'ai calculé jusqu'à J^8 et en effet je vois une périodicité.
Cette question je l'avais à peu près faite mais c'est les 3 autres questions que je n'arrive pas.
Pouvez-vous m'aider svp.
Merci

La question 2. est simple lorsque tu as remarqué la périodicité, tu peux éliminer des vecteurs.

Je ne comprends pas ce que tu veux me dire par là, éliminer des vecteurs?
Peut-tu m'expliquer stp.

Je te rappelle que la dimension d'un ev est le cardinal de ses bases, soit le plus grand cardinal de ses familles libres.

Il est clair que la famille est libre et est la plus grande famille libre de d'où Dim=7

D'accord, je ne sais pas trop traiter ce genre de questions...
Et pour les questions 2 et 3?
Je n'arrive vraiment pas...
Merci de m'aider.

Pour les questions 3 et 4 je me suis trompée...

C'était la question 2

Pour la 3° c'est direct, notre famille libre est aussi génératrice donc est une base.

Donc si j'ai bien compris la réponse à la question 3 est J^n qui est une base?
Et pour la question 4?
Merciii...

Bonjour à tous

Nightmare> attention la dimension ne peut pas être égale à 7.
En effet, la théorie nous dit que si l'on voit E comme un -espace vectoriel alors la dimension ne peut pas excéder 3.
Un certain théorème (celui de Cayley-Hamilton) implique ce que je viens de dire.

Kaiser

Bonjour Kaiser, je n'ai pas tout compris ce que tu as dit la dimension est égale à 3 ou à 7????
Je ne comprends plus rien!!!
Peut tu me dire pourquoi la dimension est 3 ou 7??
Me l'expliquer stp.
Merci d'avance.
Et pour les autres questions est-ce que le raisonnement est bon??

Kaiser, et si on le voit comme un R-espace vectoriel là ça marche?

non plus car un -espace vectoriel de dimension n est un -espace vectoriel de dimension 2n donc la dimension est au plus égale à 6.

Kaiser

Pouvez-vous m'expliquer Kaiser et Nightmare parce que je ne comprends pas tout ce que vous dîtes...
Merci d'avance.

En calculant on tombe sur -I, donc on a en particulier que est une combinaison linéaire de I, J et J².
donc la dimension est au plus égale à 3.
Autre chose : Pitchoune2 > est-il précisé comment on voit cet espace vectoriel ? Est-ce un -espace vectoriel ou bien un -espace vectoriel ?

Kaiser

Kaiser : J'ai toujours pensé que
En prenant n=p=3 on peut bien avoir une dimension de 9.
Quel est le problème?

kaiser > Non il n'y a rien de précisé donc que dois-je mettre comme réponse?

Nightmare > justement non, c'est bien ça le problème : on ne peut jamais atteindre la dimension maximal avec les puissances d'une matrice.
En effet, le théorème de Cayley-Hamilton nous dit le polynôme caractéristique est un polynôme annulateur de A (tu as déjà vu ce genre de choses ?) donc quelle que soit la matrice carrée A, les n+1 premières puissances de A sont toujours liées.

Kaiser

Nightmare : regarde ici !

Kaiser

Non je n'avais jamais vu le théorème de Cayley-Hamilton, il est au programme de sup? Merci de ton explication en tout cas.

D'accord j'ai compris, puissant ce théorème

Effectivement, il est très puissant mais il n'est qu'au programme de spé !

Kaiser

par contre, moi je n'ai pas compris...Pouvez- vous m'expliquer svp...

moi je suis en sup donc je ne peux pas utiliser ce théorème comment dois-je faire alors?

Pitchoune2 > tu parles de mon message de 15h21 ?

Kaiser

kaiser> oui avec tout ce que vous avez écrit je me suis embrouillée!!! peut tu me réexpliquer précisément stp...
Merci

oublie le théorème de cayley Hamilton (c'était simplement pour faire comprendre que la dimension ne pouvait pas être égal à 7).
Si tu as compris mon message de 15h21 alors c'est bon.
Tu as donc bien compris que la dimension ne peut dépasser 3 ?

Kaiser

oui, je crois que j'ai compris mais on me demande de donner la dimension, il faut que je dise seulement qu'elle ne peut pas dépasser 3? Il faut que je donne une dimension précise non?
Et pour les autres questions peut tu m'expliquer stp??
Merci d'avance.

En fait la dimension est exactement égale à 3 : essaie de montrer que la famille (I, J, J²) est libre.

Kaiser

Je crois que je n'ai jamais montrer des familles libres avec trois matrices je n'ai fait seulement qu'avec deux, comment faut-il faire avec 3?

ça marche de la même manière. Il faudra utiliser que .

Kaiser

Je ne vois pas trop le rapport tu m'as dit de montrer que la famille (I,J,J² était libre??????

Peut-tu m'expliquer comment il faut faire pour montrer qu'une famille est libre parce que je n'y arrive...
Merci

Suppose qu'elle est liée

Oublie ce que j'ai dit. En fait, ce n'est même pas la peine : considère trois scalaires a, b et c tel que aI+bJ+cJ²=0.
Ensuite, explicite les coefficients de cette matrice.
Tu devrais obtenir quelque chose.

Kaiser

P.S : je crois qu'on est bien en train de regarder E comme un espace vectoriel complexe.

Mais on ne connaît pas la forme explicite de I si?

je ne sais pas pour E si c'est un espace vectoriel complexe...

Ben si, (la matrice identité).

Kaiser

ah d'accord merci
ensuite avec les coordonnées j'établis un système de 3 équations à 3 inconnues et je dois trouver a=b=c=0 c'est bien ça???
Et pour les questions 3 et 4??
Merci

C'est ça

_{au fait Kaiser j'en profite : Désolé pour hier soir de t'avoir quitté subitement, mon internet a totalement buggé, impossible de me reconnecter avant ce matin}

D'accord merci et pour les questions 3 et 4???

Vu que la famille (I,J,J²) est libre et de dimension 3, elle est génératrice donc c'est une base.

Ah oui la question on l'avait déjà faite et pour la question 4 alors???

Nightmare > aucun problème !

kaiser ou nightmare pouvez-vous m'aider pour la question 4 svp???
Merci

Déjà, le sens droite-gauche est évident.
Saurais-tu dire pourquoi ?

Kaiser

C'est évident parce que quand on multiplie 2 matrices 3,3 on a une matrice 3,3 donc que ca soit dans un sens ou dans l'autre ça revient au même. Je pense que c'est ça mais je ne suis pas sûre et expliqué comme je viens de le faire ce n'est pas très mathématiques... Est-ce bien ça? ou sinon peut tu me l'expliquer de façon un peu plus mathématiques stp merci