J'ai entame un nouveau chapitre: reduction des endomorphismes et je suis bloque en ces 2 exercices:
1/trouver une matrice carree M d'ordre 4 telle que
M2=A=
2/ Trouver toutes les matrices qui commutent avec A=
2°) Supposons que l'on ait trouvé une base diagonalisante de A, P la matrice de passage.
Alors, D = P-1.A.P est diagonale.
Par hypohèse, AM = MA
=> P.D.P-1.M = M.P.D.P-1
=> D.P-1.M = P-1.M.P.D.P-1
=> D.(P-1.M.P) = (P-1.M.P).D
Cela signifie que M' = P-1.M.P commute avec D.
On cherche donc M' commutant avec D, puis on revient à M en cherchant M = P.M'.P-1
ok merci c'est bien compris.
Juste une petite verification pour 1/
si j'arrive a ecrire A=PDP-1 est ce que je peux passer a dire que M=A1/2=PD1/2P-1 pourtant 1/2 n'est pas un entier?
M² = A <=> P-1.M².P = P-1.A.P = D <=> (P-1.M.P)² = D
Posons M' = P-1.M².P.
Le problème revient donc à chercher M' tel que (M')² = D
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