Bonjour,
Je commence tout juste à étudier les matrices et j'ai su mal à tout comprendre.
Voici mon énoncé :
Soit A la matrice :
1 2 0
0 1 3
0 0 1
et B = A - I
a) Calculer Bn pour n > 0
Pour cette question je n'ai pas d'idée
b) Montrer que A est inversible, et calculer son invers A-1 en utilisant la question a)
Pour cette question j'ai commencé par calculer le déterminant qui vaut 1 et donc 0 ainsi elle est bien inversible.
Ensuite pour l'inverse j'ai trouvé la matrice suivante :
1 -2 6
0 1 -3
0 0 0
c) Montrer que les matrices A et B commutent. Est ce que les matrices A-1 et B commutent?
Merci pour votre aide car j'étudie par correspondance.
Bonne année. Ludovic
Si tu sais calculer le produit de 2 matricezs tu peux calculer B.B puis (BB)B ...etc...
Il n'est même pas question " d'avoir d'idée "
Bonsoir kybjm,
J'ai suivi votre idée et voici ce que j'ai trouvé :
BB =
1 4 6
0 1 6
0 0 1
Ensuite B3 =
1 6 18
0 1 9
0 0 1
Ensuite j'ai fait B4=
1 8 36
0 1 12
0 0 1
Avec ces résultat j'ai cherché une relation en fonction de n et j'ai trouvé ceci :
1 2n ???
0 1 3n
0 0 1
j'ai mis des ???? car je ne sais pas quoi mettre car j'ai voulu mettre 6n mais ça ne marhe pas toujours.
Qu'en pensez-vous
Merci d'avance
Ludovic
à la place des ??? je viens de trouver 3n(n - 1)
Ainxi la matrice Bn deviendrait :
1 2n 3n(n - 1)
0 1 3n
0 0 1
Pouriez vous me dire si j'ai bon ou pas. Merci d'avance. Ludovic
Donc j'ai repris mes calculs.
Pour moi la matrice B vaut :
0 2 0
0 0 3
0 0 0
Ainsi B2 =
0 0 6
0 0 0
0 0 0
et B3 =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Mais je ne sais pas ensuite comment conclure. Ludovic
Bonjour,
Tu as une matrice nilpotente d'ordre 3 c'est à dire qu'à partir de l'exposant 3 ta matrice est la matrice nulle donc pour tout n>2 Bn=0 et pour n=1 (..) et pour n=2 (..)
Pour la question 2 tu as B³ qui est nul donc (A-I)³=0 tu peux utiliser le binôme puisque l'identité commute avec tout et tu va obtenir A³-3A²+3A-I=0 d'où A(A²-3A+3I)=I et tu as ton inverse. Et pour la question 3 c'est que du calcul pour la 1ere partie et un peu de réflexion pour la seconde !
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