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Matrice

Posté par
celineee19
25-10-14 à 14:58

Bonjour,
J'ai un devoir maison à faire pour la rentrée mais je ne comprend pas toutes les questions...
Voici l'énoncé :
Soit A = (0 0 0)
         (2 0 0)
         (0 1 0)
1) Calculer A² et A au cube et en déduire les puissances de A.
2 On pose B = 2I+A. Déterminer les puissances de la matrice B.
3) Soit (an), (bn) et (cn) les suites définies pour n entier naturel par:
an+1 = 2an
bn+1 = 2an + 2bn
cn+1 = bn + 2cn    Ceci est un système
Déterminer an, bn et cn en fonction de n, a0, b0 et c0.

1) J'ai calculer les deux matrices mais je ne comprend pas le en déduire les puissances de A..
Est-ce si p= 3k (K), Ap=0 ?

Posté par
blumaise
re : Matrice 25-10-14 à 15:00

Oui A est nilpotente d'ordre 3.

Les puissances de B s'en déduisent avec le binôme de Newton.

Posté par
celineee19
re : Matrice 25-10-14 à 15:18

On cherche donc (2I+A)p?
J'ai donc fait si p= 3 (2I+A)3= 2I + 6I²A+6IA²+A3= B
Est-ce cela?

Posté par
blumaise
re : Matrice 25-10-14 à 15:29

oui

Posté par
celineee19
re : Matrice 25-10-14 à 17:53

Mais je ne peux pas trouver B avec ça ...

Posté par
blumaise
re : Matrice 25-10-14 à 17:57

On de te demande les puissances de B. Développe Bn avec le binôme de Newton.

Posté par
celineee19
re : Matrice 25-10-14 à 18:25

Avec le binôme de Newton je trouve : (p) 2IkAn-k= 2In-kAk
                                                       k

Posté par
blumaise
re : Matrice 25-10-14 à 18:34

Sachant que les puissances de A supérieures à 2 sont nulles...

Posté par
celineee19
re : Matrice 25-10-14 à 18:42

Il me reste donc 2Ik?

Posté par
blumaise
re : Matrice 25-10-14 à 19:08

Bn=(2I+A)n=(0 parmi n)(2I)nA0+(1 parmi n)(2I)n-1A1+(2 parmi n)(2I)n-2A2=2nI+n2n-1A+(n(n-1)/2)2n-2A2

Posté par
celineee19
re : Matrice 25-10-14 à 20:34

Je ne comprend pas après le 3ème égal... Et je ne comprend pas ce que je dois trouver à la fin de cette question. Je dois trouver la matrice B avec les puissances à l'intérieur?

Posté par
blumaise
re : Matrice 25-10-14 à 20:42

Que ne comprends-tu pas ? J'ai juste calculé les k parmi n.
(0 parmi n)=1
(1 parmi n)=n
(2 parmi n)=n(n-1)/2

Du coup Bn =

2n ; 0 ; 0
n2n ; 2n ; 0
n(n-1)2n-1 ; n2n-1 ; 2n

Posté par
celineee19
re : Matrice 25-10-14 à 20:48

Je ne comprenais pas le 2 parmi n mais j'ai compris maintenant merci.



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