Bonjour,
Soit A une matrice à diagonales strictement dominantes de la forme où L1, L2, L=L1+L2 sont des matrices strictement triangulaires inférieures à coefficients positifs ou nuls, et U1, U2 et U=U1+U2 sont des matrices strictement triangulaires supérieures à coefficients positifs ou nuls, et D est une matrice diagonale.
On note les éléments de L1 et les éléments de L2. On en fait de même avec et pour les éléments de U1 et U2.
On veut montrer que .
Pour le faire, on cherche à montrer qu'il existe tel que pour tout , où y est défini par .
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Comme A est à diagonale dominante, .
Mais comment prouver que ? Merci d'avance...
Bonjour
ll me semble que la démonstration est très proche de celle où on démontre que
||(D-L)^(-1)U||<1. Si c'est bien le cas, il suffit donc de l'adapter
Pour un certain i, on note et .
Donc devient :
par l'inégalité triangulaire donc on a :
(1)
Or par la stricte dominance diagonale de A, on a (les coefficients de L1, L2, U1 et U2 sont tous positifs ou nuls) donc :
et enfin par (1)
et on a bien .
Pouvez-vous me confirmer ou non cette démonstration, ou je me suis plantée quelque part ?
Bonjour
Oui cela me semble correct sauf le début.
En effet il existe au moins un i tel que |y_i|=||y|| mais pour x ce n'est pas forcément le même. De tout façon il faut considérer la ligne i qui vérifie |y_i|=||y|| pour les |x_i| on doit pouvoir les majorer simplement par ||x||
Par contre la deuxième (et dernière) question :
2) En déduire que pour résoudre le système AX=F, la méthode itérative :
converge.
On a montré que :
En considérant la méthode : avec et , je n'arrive pas à bien comprendre le "+1/2". Je suppose que l'on divise par 2 car il y a deux lignes mais je ne comprends pas bien pourquoi...
Rebonjour
Je n'ai jamais vu cela mais cela n'est pas un problème. En effet en général on prend une suite comme application définie sur N mais on peut remplacer N par un ensemble discret
ici 0,1/2,1,3/2.... Ce n'est qu'un problème de notation qui ici est inhabituel.
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