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Matrice et Application linéaire

Posté par
Raphi 03-09-11 à 15:14

Bonjour j'ai un exercice que je ne comprends pas

Soit A une matrice 2*2 telle que A²=0. Montrez que, ou bien A=0, ou bien A est semblable à la matrice

0,1
0,0

On peut considérer un vecteur e de l'image de A et utiliser la base (e,Ae)

Je ne vois vraiment pas comment faire.

Merci d'avance.
                                                                                                                

Posté par
COTLODre : Matrice et Application linéaire 03-09-11 à 15:33

Bonjour,
Soit f l'endomorphisme de matrice A dans une certaine base. Supposons f\not= 0 alors il existe un vecteur e non nul tel que f(e)\not= 0, d'autre part (f(e),e) forme une base car sinon on aurait pas f^2(e)=0.

Dans cette base, les colonnes de la matrice de f sont f(f(e)) et f(e), c'est à dire \left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right) et \left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)

Posté par
athrunre : Matrice et Application linéaire 03-09-11 à 15:44

Bonjour,

je me demandais juste s'il n'y avait pas une erreur d'énoncé :

Citation :
On peut considérer un vecteur e de l'image de A et utiliser la base (e,Ae)


si e\in\mathfrak{im}(f), alors f(e)=0 puisque \mathfrak{im}(f)\subset\ker(f).

P.S. ma réponse n'a rien à voir avec ce qu'à fait COTLOD qui n'a pas pris pour e un élément de \mathfrak{im}(f).

Posté par
Raphire : Matrice et Application linéaire 03-09-11 à 15:44

Je m'excuse mais je comprends pas comment tu trouves que dans cette base les colonnes de la matrice de f sont f(f(e)) et f(e), et comment tu en déduis que cela correspond à ces colonnes.(Je sais je galère)

Posté par
Raphire : Matrice et Application linéaire 03-09-11 à 15:47

Et pour l'erreur d'énoncé je ne sais pas j'ai bêtement recopier.

Posté par
COTLODre : Matrice et Application linéaire 03-09-11 à 16:04

De façon général, la matrice d'un endo. f dans une base (e_1,e_2) est donnée par les coordonnées des vecteurs f(e_1) et f(e_2) exprimés dans cette base.

Donc ici la base est (e_1,e_2)=(f(e),e) donc je prends l'image de chaque :

f(e_1)=f(f(e))=0=0.e_1+0.e_2

f(e_2)=f(e)=1.f(e)+0.e=1.e_1+0.e_2

Posté par
Raphire : Matrice et Application linéaire 03-09-11 à 16:06

Merci beaucoup


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