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Niveau Reprise d'études
Matrice inversible
Posté par Groborona
Bonjour,
Dans Mn(C) on considère une matrice telle que
.
A partir de cette seule information peut-on savoir si est inversible?
Je reconnais qu'il y a un polynôme annulateur: , et je vois bien que
est racine de ce polynôme, mais rien ne me dit que c'est une valeur propre de
...
Bonsoir
Quelle est la question posée?
Si c'est: "est-ce que A est inversible?", la réponse est : "pas nécessairement".
La matrice nulle convient, ainsi que toute matrice A telle que A²= 0
Par ailleurs tu es sur Mn(C) donc la matrice est triangulable et tu sais ce qui est sur la diagonale de la matrice triangulaire.
Ce qui te permet de conclure.
Bonsoir Jeanseb,
Merci pour ta réponse, en particulier ton premier message répond parfaitement à la question que je me posais.
Par contre je ne suis pas d'accord avec ton deuxième message: A est effectievement trigonalisable dans Mn(C), mais rien ne dit que 0, qui est une racine du polynôme annulateur soit aussi une valeur propre: ce 0 n'apparaitra pas forcément sur la diagonale.
Bonsoir,
Parmi les matrices annulées par , il y en a qui sont inversibles et d'autres qui ne le sont pas.
Groborona @ 13-02-2023 à 21:52
A est effectievement trigonalisable dans Mn(C), mais rien ne dit que 0, qui est une racine du polynôme annulateur soit aussi une valeur propre: ce 0 n'apparaitra pas forcément sur la diagonale.
A est effectievement trigonalisable dans Mn(C), mais rien ne dit que 0, qui est une racine du polynôme annulateur soit aussi une valeur propre: ce 0 n'apparaitra pas forcément sur la diagonale.
... et donc si et seulement si 0 n'apparait pas sur la diagonale (il n'y a que des 3 et/ou des 4), A est inversible car le déterminant de A est le produit des éléments sur la diagonale.
@Jeanseb, effectivement, vu comme ça, je suis d'accord ! 
Merci aussi à GBZM et Sylvieg pour vos réponses.