Bonjour Yosh2

Les matrice 2x2 nilpotentes ont leur déterminant nul.
Donc les deux colonnes de la matrices sont proportionnelles.

Elles sont donc de la forme

Maintenant, inversement, comme les matrices décrites ci-dessus ne sont pas toutes nilpotentes, il faut trouver la relation entre a et b pour que (vu que A = 0 entraîne a = b = 0)

Egalement, une matrice nilpotente a une trace nulle donc si alors

Et normalement, là, tu les a toutes :

tu peux vérifier que

Zut ! J'ma'gouré :

Bon, je vais y arriver :



Exemple k = 3 et b = i

Décidément, j'aurais écrit toutes les combinaisons :





Cette fois c'est bon ! pffff ...

Bonjour,

Et ?

On peut encore présenter les choses de cette façon :

N, matrice 2x2 est nilpotente s'il existe

Ça permet de se passer de la transposée.

Oui, avec une transposée

ha non ! ça marche pas ... oubliez la forme ci-dessus !
C'est bien nilpotent, mais on les a pas toutes pour le coup !

Non avec le message de 12h09

Exactement Sylvieg, c'est  en voyant ton message que j'ai tilté ...

Le message de 11:25 clôt le débat pour les matrices 2x2 je crois ...

Une remarque :
Il a été au passage démontré que, pour les matrices 22, si M est nilpotente alors M² est la matrice nulle.
Ça se généralise aux matrices nn :
Si M nilpotente alors Mⁿ est la matrice nulle.
Voir Propriété des matrices nilpotentes

Bonjour Sylvieg
la propriete que vous ennoce dans votre dernier message , c'est ''l'indice de nilpotence ne peut pas depasser la dimension de l'espace'' , n'est ce pas ? dans ce cas je ne comprends pas comment je suis sense l'exploiter pour repondre a ma question.

merci jsvdb pour ta determination de la forme generales des matrices nilpotentes 2x2 , toutes fois ca ne repond pas totalement a ma question car je n'arrive pas a dire si la derniere forme a laquelle tu aboutis est semblable ou non a une matrice ' triangulaire superieure a diagonale nulle'?

Bonjour,

Toute matrice nilpotente est semblable à une matrice triangulaire supérieure à diagonale nulle. C'est, si on veut, un cas particulier de la forme réduite de Jordan.
Pour les matrices de taille 2, c'est très simple : si la matrice n'est pas nulle, prend une nouvelle base formée d'un vecteur qui n'appartient pas au noyau et de son image (dans l'ordre d'abord l'image, puis le vecteur hors du noyau pour la base).

Bonsoir,
Je réponds d'abord sur mon message du 3 à 12h08 :
Elle était malvenue. J'avais zappé "avec leur transposée".
Pour le "de la forme ' triangulaire supérieure a diagonale nulle'", je rappelais ce qui était évoqué dans le premier message du sujet.

Pour celui de 16h11, c'est une généralisation qui n'est pas une aide.

Bonjour
GBZM , c'est la reponse qu'il me fallait , je ne connais pas encore la jordanisation , ca me donne une raison de m'y interesser des a present.
merci