Salut

C'est clairement généralisable à l'ordre n :

Ta matrice nilpotente est de spectre inclus dans {0}. Elle est trigonalisable en une matrice d'ordre n de diagonale nulle. On montre assez facilement que cette dernière matrice s'annule à la puissance n, et donc pas similitude, que notre matrice s'annule aussi à la puissance n.

Salut

je sais si vous faite de la diagonalisation en HEC.

si f est nilpotent d'indice de nilpotence r, c'est à dire le plus petit entier tel que alors le polynôme est annulateur et donc le polynôme caractéristique qui est obligatoirement de degré la dimension est qui est de plus annulateur donc

Re salut jord et désolé ! là je pars sérieusement (c'est juste que j'ai vu un topic d'algèbre linéaire ^^)

Oui passer par Cayley-Hamilton est plus rapide.

(re)Bonjour Masterpiece

Puisque A est nilpotente, elle vérifie  A^k=0 . Donc, A annule le polynôme X^k, scindé. On en déduit que A est trigonalisable. La seule valeur propre de A est 0 (facile à démontrer). Dans ce cas, le polynôme caractéristique de A vaut

(puisque tous les lambda_k sont nuls)

D'après le théorème de Cayley-Hamilton, A annule son polynôme carctéristique, et donc   A³=0

Devancé
Bonjour, monrow et Nightmare

Bonjour à tous,

Si je ne me trompe pas, en prepa HEC les étudiants ne connaissent ni les polynômes caractéristiques, ni Cayley-Hamilton.  
J'ai donc cherché une démonstration qui n'utilise rien de tout ça et que je laisse ci-dessous sous forme de mini-exercice.

On suppose que A est la matrice, dans la base canonique, d'un endomorphisme  f  de K³,  (K =   ou  )  .

J'utilise les notations de monrow :
"si f est nilpotent d'indice de nilpotence r, c'est à dire le plus petit entier tel que ", il existe un vecteur u tel que  f ^r-1(u) 0  et  f ^r(u) = 0 ; supposons que  r > 3.

On montre successivement que :
1 -  (u, f(u), f²(u))  est une famille libre.
2 -  f³(u) Vect(u, f(u), f²(u))
3 -  f ^r(u) 0
4 -  Conclure.