Niveau Licence-pas de math

Matrice semblable nilpotente

Posté par
Ramanadam 26-06-18 à 19:36

Bonsoir

Soit la matrice suivante :

1	1	0
0	3	1
0	0	3

Trouver une matrice inversible telle que P^-1AP soit sous la forme D + N où D est une matrice diagonale, N est une matrice nilpotente et DN = ND.

Comment faire en sachant cette matrice P sachant que A n'est pas diagoalisable ?

Posté par re : Matrice semblable nilpotente 26-06-18 à 20:00

Bonjour
la diagonale sera constituée de 1 et de deux 3
reste à chercher un vecteur propre pour chaque valeur propre, et à compléter ta base pour que l'image du dernier vecteur soit le vecteur propre associé à 3 plus trois fois ce dernier vecteur (système à résoudre)

Posté par re : Matrice semblable nilpotente 27-06-18 à 15:52

Bonjour,

Il s'agit du calcul de la décomposition de Dunford de A     (cf.   ).  On désigne par $f$ l'endomorphisme de matrice $A$ dans la base canonique.

Le polynôme caractéristique de $A$ (ou de $f$ ) est $(X-1)(X-3)^2$ et les sous-espaces caractéristiques   $Ker(f-I) =vect\{e_1} \}$   et $Ker(f-3I)^2=vect\{e_1+2e_2, e_1-4e_3\}$ .
Sur la base définie par la matrice de passage   $P=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&2&0\\0&0&-4\end{pmatrix}$ ,   $f$ admet la matrice $P^{-1}AP$ = $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&3&-2\\0&0&3 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-2\\0&0&0\end{pmatrix}$   et donc     $A=P\begin{pmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{pmatrix} P^{-1} + P \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-2\\0&0&0\end{pmatrix} P^{-1}  =D+N$ solution du problème.

***lien réparé***