Bonsoir à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
1)Montrer que toute matrice carrée d'ordre n, à coefficients dans un corps commutatif de carartéristique différente de 2, s'écrit de manière unique comme somme d'une matrice symétrique
et d'une matrice antisymétrique.
2). Soient A et B ∈ Mn(K) deux matrices symétriques. Montrer que :
AB est symétrique <=> AB=BA
Merci beaucoup d'avance
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Voici mes suggestions
1) matrice symétrique <=> tA=A où A une matrice carré d'ordre n
Et matrice antisymétrique <=> tA=-A
Une petite indications s'il vous plaît merci beaucoup d'avance
Bonjour
raisonne par analyse-synthèse : si M s'écrit S+A, avec S symétrique et A antisymétrique, alors ... (vois-tu quoi calculer pour avoir l'occasion d'utiliser les hypothèses ?)
une fois que tu auras obtenu des infos sur S et A, tu passeras à la synthèse
Bonjour
Par raisonnement Analyse synthèse :
Analyse
Soit MMn()
Supposons USn (ensemble des matrices symétrique)
Et VAn(ensemble des matrices antisymétrique )
Tel que M=U+V
tM =tU+tV=U-V et M=U+V
On a obtenu donc un système
Donc on obtient après calcul
U=
Et V=
Synthèse
Posons U=
Et V=
•U+V=
•tU=
Et donc tU=U => USn
•
Et donc tV=-V => VAn
Merci beaucoup à vous
2) une petite indications s'il vous plaît merci beaucoup d'avance
Bonjour,
Pour la question 2, il suffit de se souvenir de la définition de "matrice symétrique" et aussi de ce qu'est la transposée d'un produit.
Bonjour
D'accord pour 2)
Supposons qu'on a AB=BA <=> T(AB)=T(BA)
<=> T(AB)=TATB
<=> TAB=AB (car A et B sont deux matrice symétrique)
Donc AB symétrique
Merci beaucoup
Bonjour
D'accord
Bonsoir
ce n'est pas vraiment mieux ...
on ne sait pas si la supposition porte sur l'équivalence, ou sur l'égalité
et la conclusion donne l'impression que tu n'as montré qu'une implication , pas sa réciproque
Bonjour
Oui c'est vrai je suis désolé j'ai montré juste cette implication (<==) et il me manque l'implication réciproque
(=>) On a AB est symétrique <=> T(AB)=AB <=> TBTA=AB
Puisque A est B sont deux matrices symétrique
Alors on en déduit que TA=A et TB=B
D'où le résultat demandé BA=AB
tu aurais pu le faire par équivalences, c'est ce que tu avais écrit, mais il faut le rédiger proprement
Bonjour
D'accord
[quote]Soient A et B ∈ Mn(K) deux matrices symétriques distinctes
On a AB est symétrique <=> T(AB)=AB <=> TBTA=AB
Puisque A est B sont deux matrices symétrique
Alors on en déduit que TA=A et TB=B
D'où le résultat demandé BA=AB
Merci beaucoup
ce n'est toujours pas une équivalence ...
un des soucis c'est que tu mélanges des phrases en français avec du formalisme mathématique, ça ne se passe pas toujours très bien, ce genre de mélange
Bonjour
D'accord je vais essayer de reformuler tout ça
•Soit (A,B) ∈ Sn()( l'ensemble des matrices symétrique)
*Démontrons par condition nécessaire et suffisante que AB = BA.
* Supposons que AB = BA et démontrons qu'alors AB ∈ Sn().
T(AB)=T(BA)
=TATB
Puisque A et B sont symétriques :
T(AB) = AB
* Supposons que AB ∈ Sn() et montrons qu'alors AB = BA.
Puisque AB ∈ Sn()
AB=T(AB)=TBTA
Et puisque (A,B) ∈ Sn()2
AB = BA
Merci beaucoup
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