Bonjour,

Recopie ton énoncé, si tu veux de l'aide.

Soit X = (x1 , x2 , x3 ) ∼ N (μ, Σ) une variable aléatoire gaussienne multivariée de moyenne μ ∈ R3 et de matrice de covariance Σ ∈ R3×3. Sa fonction de densité est fμ,Σ définie par:
fμ,Σ :
X→ (1/(√2π3 √|Σ|) ) * exp(−1/2 QΣ (X−μ))
Ou la fonction QΣ : R3 -> R est définie par QΣ(X) = X^T Σ^−1 X

  1- Pourquoi Σ est une matrice symétrique
2- Montrer que Σ est diagonalisable
Soit P la matrice de passage orthogonale vérifiant: Σ = P T DP , ou D = diag(σ12, σ2, σ32).
3- Exprimer QΣ en fonction de P et de D et exprimer le déterminant |Σ| en fonction des σi2 (
4- soit Y = X P la variable aléatoire obtenue par la transformation linéaire P .
MontrerY ∼N(Pμ,D).
(i.e. vérifier que la fonction de densité de la variable aléatoire Y = (y1 , y2 , y3 ) vérifie:
f(Y ) = fμ,Σ(XP) = fPμ,D(Y )
On rappelle qu'une variable gaussienne y ∼ N (m, σ2) a pour fonction de densité:
fm,σ2(y)= (1/√2πσ)* exp ( (−1/2)*(y−m/σ)^2)
5- On note le vecteur P μ = (m1, m2, m3). Montrer que:
fP μ,D (Y ) = Π fmi ,σi^2 (yi )
(indication: vérifier d'abord que QD(X) = Σ(xi/σ)^2
6- vérifier que les variables aléatoires (y1 , y2 , y3 ) sont indépendantes.
7- vérifier que yi ∼ N (mi, σ2).

bonjour,
1) tu vois bien que conséquences sur la matrice !
2)Que sais-tu des matrices symétriques?
3)Applique la définition et révise ton cours sur les déterminants , c'est immédiat
4) C'est à toi de faire des efforts ...

Bonjour, j'ai fais les questions 1,2 et 3. Pour la 4 je sais identifier la loi en se basant sur sa fonction de densité mais je n'arrive pas a montrer que fμ,Σ(XP) = fPμ,D(Y).
Par ailleurs, je suis vraiment bloqué à la question 5 pouvez vous m'aider svp?

bonjour,
Tu as quelques problèmes de notations en latex (indices exposants...) exemple c'est plutôt  

Tu écris c'est il me semble

ainsi car est orthogonale donc

le reste est un jeu d'écriture le changement de variable fait que tu as au lieu de

Pour la 5) l'indication est facile à vérifier tu calcules les produits (matrice diagonale )

Après avoir défini Tu n'as plus qu'à calculer le produit des 3 et tu utilises l'indication ,
et le produit de facteurs devant les exponentielles se traite d'une manière évidente .

Bonjour, merci pour vos indications. Concernant la question 4, après le changement de variable je trouve cette fonction densité de Y mais je ne suis pas vraiment sure. Pouvez vous me dire si c'est correct et me corrigé svp?
fPμ,D(Y )= P^-1 * (1/(√2π^3*σi)) * exp (-1/2* (X^T* D^-1*X- μP /P))

Par ailleurs, pour la question 6, je pense qu'on peut montrer que comme la covariance nul, alors les variables y1, y2, y3 sont indépendantes mais je ne sais pas comment m'y prendre. Quel matrice faut-il prendre? Pouvez vous m'aidez svp?

c'est quoi à la fin "/p" ?
pour écrire tu tapes {3/2} en mettant des accolades après avoir mis les balises ( elles se placent toutes seules en   tapant le premier icone LTX

Quand tu veux écrire en latex tu mets les balises Voir LTX en bas de ta page (le premier) et tu écris à l'intérieur exemple: un exposant

D'accord

fPμ,D(Y )= P^ * (1/(√2π*σi)) * exp (-1/2* (X* D*X- μP) /P ))

Le '/P' est une division. Est ce correct? Merci d'avance