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Matrices

Posté par
KUIP32
28-10-15 à 19:11

Bonsoir, c'est pourtant la première question d'un long exercice mais je ne trouve vraiment pas... voici l'énoncé :

210
021
002


On note C = 2I + N, grâce au binôme de Newton, exprimer Cn en fonction de n, sous la forme :

Cn = an*I + bn*N + cn*n² (an, bn, cn sont des réels a préciser)

J'ai essayé de calculer pour n=2 et 3 mais cela ne m'aide pas
C = 2*I + 1*N + 0*N²
C² = 4*I + 4*N + 1*N²

et pour C3 j'obtiens quelque chose de bizarre :

= 8*I + 12*N + 6*N² + N3 donc je vois pas comment trouver une expression...

Posté par
flight
re : Matrices 28-10-15 à 19:21

salut

C^n =(2I+N)^n ensuite formule du binome

Posté par
KUIP32
re : Matrices 28-10-15 à 19:23

Bah en exprimant la formule de binôme je vois pas comment obtenir la forme souhaitée

Posté par
veleda
re : Matrices 28-10-15 à 20:58

bonsoir,
la matrice N est nilpotente d'ordre3 ses puissances Nksont nulles pour k3 donc la formule du binôme va se simplifier

Posté par
KUIP32
re : Matrices 29-10-15 à 01:51

J'ai essayé de développer mais ça devient vite compliqué, je vois vraiment pas comment la formule va se simplifier

Posté par
veleda
re : Matrices 29-10-15 à 10:05

bonjour,
C^n=(2I+N)^n=\sum_{k=0}^n(_k^n)N^k(2I)^{n-k}
je t'ai dit que N était nilpotente d'ordre 3 cela veut dire que N^k=0  si k\ge 3
donc la somme  se réduit à\sum_{k=0}^2 (_k^n)N^k(2I)^{n-k},tu développes cette somme de trois termes

*si tu ne sais pas que N est nilpotente tu dois le démontrer

Posté par
KUIP32
re : Matrices 29-10-15 à 10:57

J'ai jamais vu les matrices nilpotente, y'a une façon de le démontrer ?

Posté par
KUIP32
re : Matrices 29-10-15 à 11:00

Et comment savoir qu'elle l'est sans savoir a quoi elle correspond ?

Posté par
veleda
re : Matrices 29-10-15 à 17:23

tu calcules N^2,N^3 et tu trouves que N^3=0 la matrice nulle de M_3(R)

par récurrence pour tout entier k3 N^k=0

Posté par
KUIP32
re : Matrices 29-10-15 à 17:26

Mais N c'est quoi ? Fin on a juste N mais comment on peut savoir que N^3 vaut 0 ?

Posté par
KUIP32
re : Matrices 29-10-15 à 17:26

Ah si d'accord, je vois, merci !!!

Posté par
veleda
re : Matrices 29-10-15 à 18:08

N=  C-2I,elle est triangulaire supérieure stricte,ses seuls termes non nuls sont au dessus de la diagonale
0 1 0
0 0 1
0 0 0

Posté par
KUIP32
re : Matrices 29-10-15 à 18:10

Oui oui, j'avais même pas pensé à déterminer N... merci en tout cas !



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