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Meme J-P ne saurait pas faire.......
Voila c une etude de fonction:
etudier f(x)= -2x+racine(x^^2-x)
J'arrive a tout faire(asymptote,limite...) mais je n'arrive pas a determiner
le signe de la derivée: f(x)'= (-4racine(x^2-x)+2x-1)/(2racine(x^2-x))
Voila merci au Dieu qui saura resoudre mon probleme
Bye
Eskobar.
C'est en multipliant num et dénom par la quantité conjuguée
du numérateur qu'on " simplifie"
f' en (-12x²+12x+1)/2rac(x²-x)[2x-1+4rac(x²-x)]
calculs à vérifier mais c'est ça le truc
Après on fait delta...etc
2x-1+4rac(x²-x) devrait etre positif sur Df, non ?
Il n'y a vraiment pas besoin de faire appel à un Dieu, ni même
à un petit saint !
f'(x) = -2+(2x-1)/2racine(x^2-x)
Pour trouver le signe en fonction de x, on commence par regarder pour
quelles valeurs de x on a un changement de signe, c'est à dire
les passages par 0.
On résoud donc : 0 = -2+(2x-1)/2racine(x^2-x)
2 = (2x-1)/2racine(x^2-x)
4racine(x^2-x) = 2x-1
donc 2x-1 positif : x doit être plus grand que 1/2.
16(x^2-x) = 4x^2-4x+1
12x^2 - 12x -1 = 0
les racines sont (1/2)-1/racine(3) et (1/2)+1/racine(3)
La première est à éliminer puisqu'on a vu que x doit être plus
grand que 1/2.
Le tableau de variations comporte donc les valeurs de x suivantes :
-infini, 0, 1, ((1/2)+1/racine(3)) et +infini.
Entre chacun de ces points, le signe de la dérivée ne change pas.
Si on n'a pas de meilleures idée, il suffit de calculer une valeur
numérique de f'(x) dans chacun des domaines pour trouver le
signe. (ce n'est pas très élégant ni très rapide, mais ca marche
forcément).
Pour x entre -infini et 0, on trouve f'(x) négatif.
Entre x=0 et x=1 : exclu car non réel (racine de x^2-x qui est négatif)
Entre x= 1 et x= (1/2)+1/racine(3), on trouve f'(x) positif.
Puis f'(x) négatif pour x supérieur.
Désolé Eskobar mais ça marche !
Alors on va te détailler les calculs si c'est ce que tu veux
2x-1-4rac(x²-x) [(2x-1)-4rac(x²-x)][(2x-1)+4rac(x²-x)]
f'(x)=------------------- =-----------------------------------------------
2rac(x²-x) 2rac(x²-x)[(2x-1)+4rac(x²-x)]
(2x-1)²-16(rac(x²-x)²) 4x²-4x+1-16(x²-x)
= -------------------------- = ----------------------
idem
idem
4x²-4x+1-16x²-16x -12x²-12x+1
= ------------------------ = ----------------------------------
idem 2rac(x²-x)[2x-1+4rac(x²-x)]
il te reste à étudier le signe de -12x²-12x+1
car 2rac(x²-x)>0 et (2x-1)>0 sur Df donc 2x-1+4rac.. aussi
oups ! c'est +16x à l'avant dernier calcul donc -12x²+12x+1
comme annoncé la première fois d'ailleurs
Autre manière de faire:
le domaine d'existence de f ' est ]-oo ;0[ U ]1 ; oo[
Le dénominateur de f '(x) est forcément > 0 (par la racine carrée)
-> f '(x) a le signe de g(x) = -4racine(x^2-x)+2x-1
Soit g(x) = -4racine(x^2-x)+2x-1
a)
si x dans ]-oo ; 0[ chaque terme de g(x) est négatif -> g(x) < 0.
b)
Si x dans ]1 ; oo[
g '(x) = -2(2x-1)/[racine(x²-x)] + 2
g '(x) = [-4x + 2 + 2.racine(x²-x)]/[racine(x²-x)]
g '(x) a le signe de -4x + 2 + 2.racine(x²-x) puisque racine(x²-x)
> 0.
(x - 1) > 0
-2(x-1) < 0
-2x + 2 < 0
-4x + 2 + 2x < 0
-4x + 2 + 2V(x²) < 0
et a fortiori:
-4x + 2 + 2V(x²-x) < 0
g '(x) < 0 -> g(x) décroissante.
g(1) = 0 + 2 - 1 = 1
lim(x->oo) g(x) = lim(x->oo)[-4racine(x^2-x)+2x-1] = lim(x->oo)[-4x+2x-1] =
-oo
g(x) = 0 si -4racine(x^2-x)+2x-1 = 0
soit si 4racine(x^2-x) = 2x-1
16(x²-x) = (2x-1)²
16x² - 16x = 4x² - 4x + 1
12x² - 12x - 1 = 0
et comme x > 1 ->
x = (1/2) + (1/V3)
On a donc à partir de l'étude des variations de g(x):
g(x) > 0 pour x dans ]1 ; (1/2) + (1/V3)[
g(x) = 0 pour x = 0
g(x) < 0 pour x dans ](1/2) + (1/V3) ; oo[
----
Comme f '(x) a le signe de g(s) (voir début) ->
f '(x) < 0 si x dans ]-oo ; 0[
f '(x) > 0 pour x dans ]1 ; (1/2) + (1/V3)[
f '(x) = 0 pour x = 0
f '(x) < 0 pour x dans ](1/2) + (1/V3) ; oo[
----
Sauf distraction.
C marrant mais j'avais resolu comme J-P comme quoi tu savais
le faire
(et oui je l'avais deja resolu)desolé mais ct pour voir qui frequente
ce forum.(vu certains message on a du doute sur le QI de certains)
)
Bye
Eskobar(un emmerdeur comme tant d'autre)
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