Tu peux par exemple réécrire S à l'envers
S=1+2+...+n
S=n+(n-1)+...+1
puis ajouter les deux équations membre à membre, ça donne
2S=(n+1)+(n+1)+...+(n+1) et comme il y a n termes = n(n+1) et tu en déduis donc S=n(n+1)/2

c'est la plus connue. Sinon si tu as appris les suites arithmétiques, c'est la somme des termes d'une suite arithmétique.

Tu peux le démontrer en image aussi :

les deux figures de gauche valent toutes les deux S et leur somme fait un rectangle n par (n+1) carrés

Dans mon exercice, j'ai :

Le rectangle ci contre est de 7 par 8 soi une aire de 56. La partie grisée a une aire S = 1+2+3+4+5+6+7.

1. Quelle proportion du rectangle représente la partie grisée et j'ai trouvé 28/56
2. Soit n un entier naturel non nul.
Soit S= 1+2+3...+n
Proposer une méthode pour calculer S

Donc c'est 2S= (n+1)+(n+1)+...+(n+1)
S = n(n+1)/2 ?