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Niveau Maths sup
minmum d'une distance
Posté par Miharim
Salut tt le monde!
Montrer que, pour tout (x; y ) complexe Ix+yI=IxI+IyI ss si x̄y appartient à IR+
bon par calcul j'ai arrivé à x̄y+ȳx=2IxyI=Ix̄yI+IȳxI
mais comment je peux montrer que à l'aide d'une somme directe de deux espaces dont la somme est C que x̄y=Ix̄yI
Soient x et y complexes non nuls .
Il existe des réels a et b tels que x = |x|exp(ia) et y = |y|exp(ib) .
Si |x| + |y| = |xy| alors cos(a - b) = 1 donc a - b 
....
Si la barre au dessus de signifie "conjugué" de
je te signale que le conjugué d'un complexe réel est égal à lui-même.
.............................
En utilisant la structure euclidienne du plan usuel, ton égalité se ramène (en élevant au carré une somme de normes et la norme d'une somme) à l'égalité dans la relation de Cauchy-Schwarz.
Il est connu que cette égalité équivaut à la colinéarité (espace réel) des vecteurs.
Donc une condition nécessaire est l'existence d'un réel tel que
.
En reportant dans la relation initiale tu devrais pouvoir prouver que .
Les complexes sont assimilés à des vecteurs de (espace vectoriel sur
) et tu notes
le produit scalaire.
Alors tu as la relation de Schwarz ainsi que la condition pour que cette relation devienne une égalité.
La colinéarité des vecteurs s'écrit alors : existe un réel
tle que
.
.............................