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Niveau maths sup
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minmum d'une distance

Posté par
Miharim
20-05-18 à 06:28

Salut tt le monde!
Montrer que, pour tout (x; y ) complexe Ix+yI=IxI+IyI ss si x̄y appartient à IR+
bon par calcul j'ai arrivé à x̄y+ȳx=2IxyI=Ix̄yI+IȳxI
mais comment je peux montrer que à l'aide d'une somme directe de deux espaces dont la somme est C que x̄y=Ix̄yI

Posté par
etniopal
re : minmum d'une distance 20-05-18 à 09:36

Soient x et y complexes non nuls .
  Il existe  des réels a et b tels que x = |x|exp(ia) et y = |y|exp(ib) .
Si |x| + |y| =   |xy| alors  cos(a - b) = 1 donc a - b ....

Posté par
luzak
re : minmum d'une distance 20-05-18 à 09:44

Si la barre au dessus de xy signifie "conjugué" de xy je te signale que le conjugué d'un complexe réel est égal à lui-même.
.............................
En utilisant la structure euclidienne du plan usuel, ton égalité se ramène (en élevant au carré une somme de normes et la norme d'une somme) à l'égalité dans la relation de Cauchy-Schwarz.
Il est connu que cette égalité équivaut à la colinéarité (espace réel) des vecteurs.

Donc une condition nécessaire est l'existence d'un réel \alpha tel que y=\alpha x.
En reportant dans la relation initiale tu devrais pouvoir prouver que \alpha\geqslant0.

Posté par
Miharim
re : minmum d'une distance 21-05-18 à 01:45

luzak vous pouvez mieux expliquer svp!

Posté par
luzak
re : minmum d'une distance 21-05-18 à 09:35

Les complexes sont assimilés à des vecteurs de \R^2 (espace vectoriel sur \R) et tu notes (.|.) le produit scalaire.
Alors tu as la relation de Schwarz ainsi que la condition pour que cette relation devienne une égalité.
La colinéarité des vecteurs u,v s'écrit alors : existe un réel \alpha tle que =\alpha u.

.............................



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