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Modélisation de la vitesse d’un sprinter

Posté par
meso15 05-05-21 à 23:22

Bonsoir à tous,

J'ai un dm de maths et j'aimerais que vous jetiez un coup d'oeil sur mes réponses du premier exercice svp.

Voici l'énoncé:

Le graphique ci-dessous est une modélisation de la vitesse du sprinter jamaïcain Usain Bolt lors de son record du monde du 100 mètres (2009).
La vitesse du sprinter, v(t), exprimée en m/s est représentée en fonction du temps t.
On admet le résultat de cinématique suivant :
La distance parcourue par le sprinter pendant les T premières secondes de sa course est égale à  \int_{0}^{T}{v(t)dt}

1) Calculer \int_{0}^{3}{v(t)dt}. Interpréter le résultat obtenu dans le contexte du sprinter

2) a) Montrer que pour T > 3 on a \int_{0}^{T}{v(t)dt}=12,42T-18,63.
b) En déduire le temps nécessaire, selon ce modèle, pour parcourir le 100 mètres.

3. On propose un autre modèle pour la vitesse : v=h(t)=12,42-12,42e^{-0,657t}
a) Étudier les variations de la fonction h sur l'intervalle[0 ; 10].
b) Calculer I=\int_{0}^{9,57}{h(t)dt}. Donner une valeur approchée à 0,01 près.

Voilà mes réponses :

1) \int_{0}^{3}{v(t)dt} est l'aire  du triangle en sous de la courbe représentative de la fonction v(t) sur le graphique.
Donc \int_{0}^{3}{v(t)dt}= \frac{3\times 12,42}{2}=\frac{37,26}{2}=18,63
Le sprinter parcourt 18,63 m pendant les 3 premières seconde de sa course.

2)a) Pour T>3, \int_{0}^{T}{v(t)dt}=\int_{0}^{T}{v(t)dt}-\int_{0}^{3}{v(t)dt}=12,42T-\frac{12,42\times 3}{2}=12,42T-18,63
b) \int_{0}^{T}{v(t)dt}=100 \Leftrightarrow 12,42T-18,63=100 \Leftrightarrow 12,42T=118,63 \Leftrightarrow T=\frac{118,63}{12,42}\approx 9,55s

3)a) h(t)=12,42-12,42e^{-0,657t} & h'(t) =-0,657\times -12,42e^{-0,657t} = 8,15994e^{-0,657t}
h'(t) = 0 \Leftrightarrow 8,15994e^{-0,657t} = 0 \Leftrightarrow e^{-0,657t} = 0 \Leftrightarrow e^{-0,657t} = \ln 1
la dérivée de la fonction h ne s'annule pas et comme c'est une fonction exponentielle donc elle toujours positive et croissante.
\begin{array} {|c|cccc|} x & 0 & & 10 & \\ {h'(t)} & & + & & \\ {h(t)} & 0 & \nearrow &\approx 12,4 & \end{array}
b) I= \int_{0}^{9,57}{h(t)dt}=\int_{0}^{9,57}{12,42-12,42e^{-0,657t}}=\left[12,42t-12,42\times \frac{1}{-0,657}e^{-0,657t} \right]_{0}^{9,57}
= \left[12,42t+\frac{12,42}{0,657}e^{-0,657t} \right]_{0}^{9,57}= 12,42\times 9,57+\frac{12,42}{0,657}e^{-0,657\times 9,57}-\frac{12,42}{0,657}e^{0}=100 à 0,01 près

Je vous remercie d'avance

Modélisation de la vitesse d’un sprinter

Posté par
Yzzre : Modélisation de la vitesse d’un sprinter 06-05-21 à 06:53

Salut,

Deux erreurs au 2a : tu n'as pas  \int_{0}^{T}{v(t)dt}=\int_{0}^{T}{v(t)dt}-\int_{0}^{3}{v(t)dt} , et tu n'as pas non plus  \int_{0}^{T}{v(t)dt}=12,42T.

En fait,   \int_{0}^{T}{v(t)dt} est l'aire du rectangle de base [0 ; T] et de hauteur 12,42 moins l'aire du triangle supérieur correspondant à la partie comprise entre 0 et 3.

Posté par
meso15re : Modélisation de la vitesse d’un sprinter 06-05-21 à 23:15

Yzz
D'accord j'ai compris
Merci de m'avoir répondu!

Posté par
Yzzre : Modélisation de la vitesse d’un sprinter 07-05-21 à 06:41

De rien  


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