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Module puissance n

Posté par Profil Ramanujan 22-02-19 à 21:25

Bonsoir,

Je suis dans la démonstration des racines de z^n = 1

Je cherche à montrer que les solutions sont de module 1.

J'ai |z^n| = |z|^n = 1 \Leftrightarrow |z|^n - 1 =0

J'ai factorisé avec une formule du cours et j'obtiens : (|z|-1) \sum_{k=0}^{n-1} |z|^k=0

Et là je bloque pour montrer que \sum_{k=0}^{n-1} |z|^k \ne 0

Posté par
malou Webmasterre : Module puissance n 22-02-19 à 21:28

tu connais beaucoup de réel positif, qui mis à l'exposant n , vaut 1 ? ....

Posté par
Jezebethre : Module puissance n 22-02-19 à 21:30

Bonjour

Si a est un réel positif, a^n=1 équivaut à a=1...

Posté par
mousse42re : Module puissance n 22-02-19 à 21:34

Tu vas bientôt aborder la racine n-ième de l'unité, c'est certainement le prochain chapitre

Posté par Profil Ramanujanre : Module puissance n 22-02-19 à 21:53

Jezebeth @ 22-02-2019 à 21:30

Bonjour

Si a est un réel positif, a^n=1 équivaut à a=1...


Justement j'essaie de démontrer ce résultat...

Posté par Profil Ramanujanre : Module puissance n 22-02-19 à 21:56

0 n'est pas une racine n-ième de l'unité donc : z \ne 0

Or z \ne 0 \Rightarrow |z| \ne 0

\sum_{k=0}^{n-1} |z|^k >0 c'est la justification attendue ?

Posté par
Jezebethre : Module puissance n 22-02-19 à 22:01

C'est connu ! Si vous doutez, étudiez la fonction x -> x^n sur R+ vous verrez bien

Posté par
Jezebethre : Module puissance n 22-02-19 à 22:04

Ramanujan @ 22-02-2019 à 21:56

0 n'est pas une racine n-ième de l'unité donc : z \ne 0

Or z \ne 0 \Rightarrow |z| \ne 0

\sum_{k=0}^{n-1} |z|^k >0 c'est la justification attendue ?


très maladroit, pas besoin de cette bien étrange factorisation !...
mais admettons, ne voyez-vous pas ici que votre somme ne contient que des termes positifs et commence par 1 ?... a-t-elle donc grande chance d'être nulle ?...

Posté par Profil Ramanujanre : Module puissance n 22-02-19 à 22:10

Jezebeth @ 22-02-2019 à 22:01

C'est connu ! Si vous doutez, étudiez la fonction x -> x^n sur R+ vous verrez bien


Ah d'accord je viens de parcourir mon livre et la fonction est étudiée au chapitre suivant et d'après le tableau de variation on voit qu'elle vaut 1 seulement en x=1 car la fonction est strictement monotone sur [0,+\infty[ pour n >0 et n<0

Posté par Profil Ramanujanre : Module puissance n 22-02-19 à 22:14

Ah d'accord Jezebeth merci, en effet le premier terme vaut 1 donc c'est réglé !

Sinon je bloque sur un autre détail comment démontrer que :

Pour n \geq 2 on  a : \exp({\dfrac{2i \pi}{n} }) \ne 1

Posté par
Jezebethre : Module puissance n 22-02-19 à 22:19

C'est grossièrement faux prendre n=2.

Posté par
gerrebare : Module puissance n 22-02-19 à 22:22

Bonsoir,
Pour n>=2 on peut écrire 1/n<=1/2 et 2pi/n<=?....

Posté par Profil Ramanujanre : Module puissance n 22-02-19 à 22:26

Jezebeth @ 22-02-2019 à 22:19

C'est grossièrement faux prendre n=2.


Pour n=2 :

\exp(\dfrac{2i \pi}{n}) = \exp( i \pi) = -1 \ne 1 donc je vois pas d'erreur.

Posté par
Jezebethre : Module puissance n 22-02-19 à 22:29

Mb, j'avais zappé le 2.

Bah, il faudrait que 1/n soit un entier, ce qui n'est pas.

Posté par
mousse42re : Module puissance n 22-02-19 à 22:30

tu te prends la tête pour pas grand chose...

|z|^n=1\iff |z|=\sqrt[n]{1}=1

Sinon tu as |z|^n=1\iff n\ln |z|=\ln 1 =0 donc \ln |z|=0 donc |z|=1


et pour le développement :

|z|^n-1=0\iff(|z|-1) \sum_{k=0}^{n-1} |z|^k=0


Pour vérifier l'égalité, soit le premier facteur nulle ou le deuxième ou les deux


càd soit |z|=1, soit la somme est nulle ou les deux à la fois (on n'a pas à montrer que ( \sum_{k=0}^{n-1} |z|^k\ne 0)

si |z|=0 et |z|=1 pas possible, |z|=0 ne marche pas non plus, donc |z|=1

Posté par
gerrebare : Module puissance n 22-02-19 à 22:31

On a 0<2pi/n<=pi ,alors ?

Posté par Profil Ramanujanre : Module puissance n 22-02-19 à 22:33

@Gerreba

Soit n \geq 2 donc \dfrac{1}{n} \leq \dfrac{1}{2}

Donc 0  < \dfrac{2 \pi }{n} \leq \pi

Ah donc le cosinus de l'angle \dfrac{2 \pi }{n} ne peut  jamais valoir 1 d'où le résultat !

Posté par
gerrebare : Module puissance n 22-02-19 à 22:34

Exactement !

Posté par
Jezebethre : Module puissance n 22-02-19 à 22:36

Oui enfin on enfonce des portes ouvertes là...

exp(iz) = 1 ssi...

Posté par
Jezebethre : Module puissance n 22-02-19 à 22:36

*exp(i\theta)

Posté par Profil Ramanujanre : Module puissance n 22-02-19 à 22:38

@Mousse

Pour la première partie nikel vous m'avez même apporté une 2ème solution avec le logarithme.

Par contre la résolution, je trouve votre raisonnement trop brouillon et confus. Je préfère ma méthode (un produit est nul si l'un des termes est nul) disant que la somme est non nulle (évident car le premier terme vaut 1) donc le terme nul est |z|-1 donc |z|=1

Posté par Profil Ramanujanre : Module puissance n 22-02-19 à 22:40

Jezebeth @ 22-02-2019 à 22:36

Oui enfin on enfonce des portes ouvertes là...

exp(iz) = 1 ssi...


\exp(i \theta) = e^{i 0}=1  \Leftrightarrow \theta = 0 +  2 k \pi =  2 k \pi   avec k \in \Z

Posté par Profil Ramanujanre : Module puissance n 22-02-19 à 22:53

Jezebeth @ 22-02-2019 à 22:29

Mb, j'avais zappé le 2.

Bah, il faudrait que 1/n soit un entier, ce qui n'est pas.


Bien vu

Il faudrait que \dfrac{1}{n} = k \in \Z ce qui est impossible pour n \geq 2

Posté par
mousse42re : Module puissance n 22-02-19 à 22:54

Citation :
Par contre la résolution, je trouve votre raisonnement trop brouillon et confus.


Oui évidemment qu'un seul facteur nul  suffit, j'ai insisté sur le fait que chercher à montrer que la somme n'est  n'est pas nulle ne sert strictement  à rien.

Posté par
mousse42re : Module puissance n 22-02-19 à 22:57

et il faut toujours traiter les cas qui se présentent

Posté par Profil Ramanujanre : Module puissance n 22-02-19 à 23:14

Ah d'accord, vous avez fait un peu un raisonnement par l'absurde.

Si la somme est nulle alors forcément |z|=0/tex] donc [tex]z=0 ce qui est impossible car 0 n'est pas une racine n-ième.

Posté par
mousse42re : Module puissance n 22-02-19 à 23:19

encore une fois désolé, je suis fatigué ....

\sum_{k=0}^{n-1} |z|^k =1+|z|+\cdots

si z=0 on a :z^0= 0^0=1 dans cette écriture. Donc la somme ne peut être nulle)


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